Próbowałem znaleźć warunki brzegowe dla równania DE czwartego rzędu dla giętej płytki kołowej. Zakładam symetrię kątową i równomierny rozkład ciśnienia.
Równanie przemieszczenia
$$ D nabla ^ 2 nabla ^ 2w (x, y, t) + h rho frac {całkowite ^ 2 {w}} {częściowe {t} ^ 2} (x, y, t) = P (t) $$
D: Sztywność zginania (stała)
h: Grubość
$ rho $: Gęstość
P (t): Ciśnienie (równomiernie na całej membranie)
Konwersja na współrzędne biegunowe
$$ nabla ^ 2 nabla ^ 2w (x, y, t) = frak {1} {r ^ 3} frak {częściowy {w}} {częściowy {r}} - frak {1} {r ^ 2} frak {częściowo ^ 2 {w}} {częściowy {r} ^ 2} + frak {2} {r} frak {częściowy ^ 3 {w}} {częściowy {r} } ^ 3} + frac {częściowo ^ 4 {w}} {częściowo {r} ^ 4} $$
Teraz muszę rozwiązać
$$ D (frac {1} {r ^ 3} frak {częściowy {w}} {częściowy {r}} - frak {1} {r ^ 2} frac {fragment ^ 2 {w }} {częściowo {r} ^ 2} + frak {2} {r} frak {częściowy ^ 3 {w}} {częściowy {r} ^ 3} + frak {częściowy ^ 4 {w }} {częściowo {r} ^ 4}) + h rho frac {częściowy ^ 2 {w}} {częściowy {t} ^ 2} (r, t) = P (t) $$
Warunki brzegowe, które obecnie mam
$ frac {częściowe {w}} {częściowe {t}} (r = a, t) = 0 $
$ w (r = a, t) = 0 $
$ frac {częściowe {w}} {częściowe {t}} (r = 0, t) = 0 $
Moim celem jest dyskretyzacja za pomocą N podziałów i przekształcenie systemu w Przestrzeń Stanową, tak że mogę użyć P (t) jako kontrolera, a także utworzyć Wykres Bode i przyjrzeć się częstotliwościom rezonansowym systemu. Uważam, że potrzebuję jednego dodatkowego warunku brzegowego, ponieważ pochodna przestrzenna jest uporządkowana 4.
Planuję również użyć centralnego i do przodu / do tyłu skończonego różnicowania rzędu 4, aby zastąpić różnice przestrzenne. Prawdopodobnie zamów 2, ponieważ uprościłoby to problem.