Preferencje Leontiefa

Mogę rozwiązać większość problemów związanych z maksymalizacją użyteczności, korzystając z mojej wiedzy matematycznej ... ale nie, jeśli chodzi o preferencje Leontiefa. Nie mam książki, na której mogę się oprzeć (jestem samoukiem), więc naprawdę potrzebuję pomocy. Jak rozwiązać ogólny problem maksymalizacji, taki jak gdzie M to dochód i \ lambda_i to cena za dobry ja ?

$$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$$ $M$$\lambda_i$$i$

Naprawdę wszystko, co wiem o pochodnych i zboczach, wychodzi z tego cholerstwa. Gdyby ktoś powiedział mi, jakie były ceny i dochód, optymalny wybór, gdy jest tylko kilka towarów, można prawdopodobnie znaleźć, stosując zdrowy rozsądek, ale co z ogólnym przypadkiem? Czy nie ma ogólnej „formuły”, jak w przypadku funkcji Cobba Douglasa i CES? Czy w takich przypadkach stosujemy jakąś metodę przejścia?

Brakuje operatora tuż przed nawiasiem. Problem maksymalizacji użyteczności jest następujący: Rozważ przypadek dwóch towarów o użyteczności podanych przez . Optymalnie, co wiesz o związku między a ? Muszą być równe, to znaczy Jeśli nie, to załóż bez utraty ogólności, że . Jaka jest użyteczność takich wyborów i ? To musi być$\min$

$$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$$ $u$$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$$\alpha x_1$$\beta x_2$ $$\alpha x_1 = \beta x_2$$ $\alpha x_1 > \beta x_1$$x_1$$x_2$$\beta x_2$ , co oznacza, że ​​część twoich pieniędzy wydaje się na (zakładając, że ceny są ściśle dodatnie), ale nie daje to żadnej dodatkowej użyteczności, więc nie może to być optymalny wybór konsumpcji.$x_1$

Wynika z tego, że równość musi utrzymywać się na poziomie optymalnym (jest to również oczywiste graficznie). Wraz z ograniczeniem budżetowym daje to dwa równania i dwie niewiadome, które można rozwiązać w celu optymalnego zużycia. Podobne podejście można zastosować w przypadku towarów.$n$

Oczywiście powyżej zakłada się, że mamy do czynienia z trywialnym problemem maksymalizacji użyteczności i nie zajmujemy się programowaniem liczb całkowitych itp.