Czy awersja do ryzyka powoduje zmniejszenie użyteczności krańcowej, czy odwrotnie?

Pozwolić $A$być zbiorem możliwych stanów świata lub możliwych preferencji, jakie może mieć dana osoba. Pozwolić$G(A)$ być zbiorem „hazardów” lub „loterii”, tj. zbiorem rozkładów prawdopodobieństwa $A$. Wtedy każda osoba miałaby preferowany porządek stanów w$A$, a także preferowane zamawianie loterii w $G(A)$. Twierdzenie von Neumann-Morgenstern stwierdza, że ​​przy założeniu, że twoje preferencje są uporządkowane$G(A)$przestrzega pewnych aksjomatów racjonalności, twoje preferencje mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności . (Ta funkcja jest unikalna do mnożenia skalarów i dodawania stałych.) Oznacza to, że dla dowolnych dwóch loterii i w , wolisz od tylko wtedy, gdy oczekiwana wartość poniżej jest większa niż oczekiwana wartość poniżej . Innymi słowy, maksymalizujesz oczekiwaną wartość funkcji narzędziowej.$u: A → ℝ$$L_1$$L_2$$G(A)$$L_1$$L_2$$u$$L_1$$u$$L_2$

Teraz, ponieważ maksymalizujesz oczekiwaną wartość swojej funkcji użyteczności, nie oznacza, że ​​maksymalizujesz oczekiwaną wartość rzeczywistych rzeczy, takich jak pieniądze. W końcu ludzie często są niechętni do ryzyka; mówią, że „ptak w ręku jest wart dwa w buszu”. Awersja do ryzyka oznacza, że ​​cenisz hazard mniejszy niż oczekiwana wartość pieniędzy, które zyskasz. Jeśli wyrażymy to pojęcie w kategoriach funkcji użyteczności von Neumanna-Morgensterna, otrzymamy następujący wynik poprzez nierówność Jensena: człowiek jest niechętny do ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcją użyteczności jest wklęsła funkcja twoich pieniędzy, tj. Zakres, w jakim Twoja awersja do ryzyka jest równa zakresowi, w jakim masz malejącą krańcową użyteczność pieniędzy. (Patrz strona 13 tego pliku PDF .)

Moje pytanie brzmi: w jakim kierunku prowadzi związek przyczynowy? Czy wartości funkcji użyteczności von Neumanna-Morgensterna odzwierciedlają intensywność twoich preferencji i czy jest to awersja do ryzyka z powodu dyskontowania preferencji przyszłych jaźni, które są zamożniejsze w porównaniu z preferencjami przyszłych wersji siebie, które są biedniejsze, a tym samym cenią więcej pieniędzy (jak sugeruje tutaj Brad Delong )? Czy też przyczynowość działa w drugą stronę: czy twoja tolerancja na ryzyko determinuje kształt funkcji użyteczności, tak że funkcja użyteczności von Neumann-Morgenstern nie mówi ci nic o względnej intensywności twoich preferencji?

Myślę, że znalazłem odpowiedź na moje pytanie w tym fragmencie laureata Nagrody Nobla Johna C. Harsanyiego z 1994 r. „Normatywna ważność i znaczenie narzędzi von neumann-morgenstern”, zaprezentowanym na IX Międzynarodowym Kongresie Logiki, Metodologii i Filozofii Nauka. Harsanyi zaczyna od udowodnienia tego samego lematu, który udowodnił Alecos w swojej odpowiedzi, a mianowicie, że jeśli jest funkcją użytkową vNM danej osoby, to$u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$wtedy i tylko wtedy, gdy woleliby gwarantowane 5 dolarów w porównaniu z 50% z 10 dolarów i 50% szansą na 0 dolarów. W sekcji komentarzy powiedziałem, że to nie wystarczy, aby wykazać, że funkcja użyteczności vNM reprezentuje intensywność preferencji, ponieważ co jeśli rzeczywista przyjemność i ból jednostki została dokładnie opisana przez inną funkcję użyteczności , która jest transformacją monotoniczną, ale nie transformacją afiniczną z ? W takim przypadku czy nie może nie spełnić oczekiwanej właściwości wartości i czy ?$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi ma sprytny argument na ten temat. Niech będzie loterią, w której masz gwarantowane 5 dolarów, niech będzie loterią, w której masz 50% szansy na 10 dolarów i 50% szansą na 0 dolarów, a będzie loterią, w której masz 50% szansy na 10 dolarów i 50% szansy na 5 dolarów. Wtedy oczywiście osoba woli od i . Harsanyi argumentuje, że jest preferowany od słabiej niż jest preferowany od wtedy i tylko wtedy, gdy . To dlatego, że w wyborze między$L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$ vs , 50% czasu, kiedy dostają 5 dolarów, i 50% czasu muszą dokonać wyboru między 10 a 5. Podobnie w przypadku wyboru między a , 50% czasu, kiedy dostają 10 dolarów, i w 50% przypadków muszą dokonać wyboru między 5 a 0. $L_1$$L_3$$L_2$

Nadchodzi teraz suw główny: jest preferowany od wtedy i tylko wtedy, gdy jest preferowany od słabiej niż jest preferowany od . Dlatego jest preferowane niż wtedy i tylko wtedy, gdy . I tak dochodzimy do wielkiego wniosku, że wtedy i tylko wtedy, gdy .$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$$L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

W ten sposób Harasanyi dochodzi do wniosku, że funkcja użyteczności vNM reprezentuje intensywność preferencji. Odpowiedź na moje pytanie wydaje się zatem taka, że ​​malejąca użyteczność krańcowa w funkcji użyteczności vNM odzwierciedla rzeczywistą malejącą użyteczność krańcową, jeśli chodzi o intensywność preferencji, a zatem (zakładając, że aksjomaty vNM są prawdziwe) malejąca użyteczność krańcowa naprawdę jest przyczyną ryzyka niechęć.

Nawiasem mówiąc, zastanawiam się, czy moglibyśmy zidentyfikować zbiór wszystkich funkcji które spełniają ograniczenie, że wtedy i tylko wtedy, gdy (i podobnie dla większych i równych). (EDYCJA: Zapytałem o to na Mathematics.SE tutaj .)$v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

Funkcja użyteczności jest reprezentacją preferencji, które tradycyjnie wywodzą się z wyborów. Preferencje mają pierwszeństwo przed użytecznością. Nie nazwałbym związku przyczynowego użytecznością a preferencjami, tylko matematycznym związkiem.

Awersja do ryzyka (preferencja ryzyka) nie jest związana z dyskontowaniem, które mierzy preferencje czasowe. Nie ma sensu mówić, że niechęć do ryzyka wynika z dyskontowania preferencji przyszłych osobowości.

Oczekiwana właściwość narzędzia nie jest właściwością zależną od formy funkcjonalnej funkcji narzędzia. Jego istnienie zależy od spełnienia pewnych „aksjomatów” (które dokładniej można by określić jako „warunki”), które mają związek z preferencjami / zachowaniami ludzi. Można im nadać ścisłe wyrażenie matematyczne (co jest dobre), ale mają one związek z preferencjami, tj. Przed określeniem jakiejkolwiek formy funkcjonalnej dla funkcji użyteczności. Zobaczmy, co to znaczy. W komentarzu OP napisał

„... jeśli x, y i z są trzema stałymi elementami A, to ilość zmienia się w zależności od osoby ( wśród osób, które spełniają aksjomaty vNM), ale nie różnią się one między różnymi funkcjami użytecznymi vNM dla tej samej osoby. Więc ta ilość przekazuje coś konkretnego dla danej osoby. ”$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

To robi.

Cytowanie z Jehle & Renyi (2011) „Advanced Microeconomic Theory” (wyd. 3d) , rozdz. 2 p. 108

„Dochodzimy do wniosku, że stosunek różnic użyteczności ma nieodłączne znaczenie w odniesieniu do preferencji jednostki i muszą one przyjmować tę samą wartość dla każdej reprezentacji użyteczności VNM (relacja słabych preferencji). Dlatego reprezentacje użyteczności VNM dostarczają znacznie więcej niż zwykłych informacji o preferencje decydenta, w przeciwnym razie, poprzez odpowiednie transformacje monotoniczne, takie stosunki mogłyby przyjąć wiele różnych wartości ”.

Pokazują to na przykładzie tuż przed cytatem

gdzie jest prawdopodobieństwem odzwierciedlającym preferencje, które modelujemy. Cytuj ponownie (s. 107)$\alpha$

„Zauważ dobrze, że liczba prawdopodobieństwa jest określona przez preferencje osoby decyzyjnej i jest do nich odzwierciedlona. Jest to liczba znacząca. Nie można jej podwoić, dodać do niej stałej ani w żaden sposób przekształcić bez zmiany preferencje, z którymi jest związany ”.$\alpha$

A jest szansą (a nie „iloraz szans”). $(1-\alpha)/\alpha$

Więc oto jesteś: funkcja narzędzia vNM jest powiązana z szansami, które mogą charakteryzować preferencje danej osoby.

DODATEK
Po ciekawej, ale zbyt długiej wymianie poglądów i myśli w komentarzach z PO, postanowiłem wzbogacić tę odpowiedź o przykład, aby pokazać, że w kontekście konkretnej teorii preferencji, o których mówimy, „intensywność preferencji „(jak tutaj nieformalnie omówiono) nie można oddzielić od„ stosunku do ryzyka ”- są ze sobą nierozerwalnie związane.

Załóżmy, że osoba deklaruje (jak ma wszelkie prawo): „Moje preferencje są monotoniczne i wolę więcej niż mniej. Co więcej, kolejne pięć euro da mi dokładnie taką samą użyteczność, jak pięć po nich”. Zauważ, że to jest indywidualna wypowiedź - nie możemy go zapytać, czy użyteczność może być kardynalna, czy nie itp. Począwszy od zera dla wygody symbolizujemy jego wypowiedź jako

W kontekście dyskusji z PO jest to stwierdzenie o „intensywności preferencji”.

Następnie przedstawiamy tej osobie następujący wybór: może on dostać euro lub może wziąć udział w grze gdzie dostanie euro z prawdopodobieństwem lub euro z prawdopodobieństwem . Osoba ta następnie oświadcza, że zdecydowanie woli otrzymać euro z pewnością. Jest to stwierdzenie ujawniające „stosunek do ryzyka”.$5$$G$$0$$1/2$$10$$1/2$$5$

Pytanie: Czy preferencje tej osoby, opisane w jej dwóch instrukcjach, mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, która posiada oczekiwaną właściwość użyteczności?

Odpowiedź: Nie.

Dowód: w drugim oświadczeniu osoba ujawniła, że ​​ekwiwalent pewności w grze wynosi dokładnie mniej niż euro:$CE_G$$5$

Dlatego mamy to

Teraz, aby właściwość oczekiwanego narzędzia mogła pozostać, musi tak być

Ze względu na (co wyraża „stosunek do ryzyka” jednostki) mamy to$(2)$

Jest to jednak sprzeczne z , co wyraża „intensywność preferencji” jednostki. $(1)$

Dochodzimy zatem do wniosku, że osoby, której preferencje są opisane w powyższych instrukcjach, nie można przedstawić za pomocą funkcji narzędzia, która posiada oczekiwaną właściwość narzędzia.

Innymi słowy, aby zachować właściwość Oczekiwanej użyteczności, „stosunku do ryzyka” nie można oddzielić od „intensywności preferencji”. Gdyby dana osoba oświadczyła, że ​​jest obojętny między niektórymi euro a hazardem , wówczas jego preferencje mogłyby być reprezentowane przez funkcję użyteczności, która miała własność UE. Ale aby to osiągnąć, musieliśmy „dostosować” „stosunek do ryzyka” do „intensywności preferencji”.$5$$G$