Optymalne opodatkowanie w przypadku negatywnych efektów zewnętrznych

Załóżmy, że osoba ma funkcję narzędzia$i$

$U= f(x(i)) - k$ (suma wszystkich o indeksie różnym od )$x$$i$

Gdzie oznacza mile przejechane przez , a jest stałą dodatnią.$x(i)$$i$$k$

Funkcja jest taka, że , i ma ujemną podwójną pochodną. Przecina oś x jeden raz po zwiększeniu przy .$f$$f(0)=0$$x=0$

Jesteśmy pytani, że jeśli planista społeczny opodatkuje osoby na podstawie dolarów za przejechaną milę, jak zmieni się optymalne opodatkowanie, gdy zwiększymy liczbę osób? Podano, że planista maksymalizuje sumę wszystkich narzędzi.$t$

Zacząłem od znalezienia najlepszej odpowiedzi indywidualnej , która jest . Dlatego każda osoba ma tę samą najlepszą reakcję, więc mile przebiegane przez wszystkich są takie same. Dlatego wystarczy maksymalizacja użyteczności dowolnej osoby.$i$$f'(x)=t$

Max. $f(x) - f'(x)*x - k(n-1)x$

Co daje mi$x=(n-1)k/f''(x)$

Nie wiem, jak postępować dalej.

Myślałem, że planista społeczny może chcieć, aby wartość była taka, aby w którym to momencie krańcowy zysk dla każdej osoby kompensuje krańcowy koszt całkowity dla innych$x_i$$f'(x_i)=k(n-1)$

podczas gdy indywidualny sterownik może chcieć, aby wartość była taka, że w którym to momencie zysk krańcowy kompensuje podatek krańcowy$i$$x_i$$f'(x_i)=t$

Według mnie sugeruje to, że stawka podatku powinna wynosić$t=k(n-1)$