Całkowita moc emitowana światła rozproszonego obszaru

Czytam książkę Renderowanie fizyczne (Pharr, Humphreys). W rozdziale dotyczącym świateł mówi się o przybliżeniu całkowitej mocy emitowanej przez różne rodzaje świateł. Na przykład całkowita moc światła punktowego wynosi intensity * 4 * pi. Tutaj 4pi reprezentuje stały kąt na całej kuli. Ma to dla mnie sens, ponieważ intensywność * kąt bryłowy = moc (lub strumień promieniowania, jeśli chcesz). Widać to również przy jednostkach. Intensywność wynosi W / sr, a kąt bryłowy wynosi sr, więc W/sr * sr = Wmoc mierzy się w watach. Sprawdza się.

Jednak nie rozumiem odpowiednich obliczeń dla DiffuseAreaLight. Z mojego zrozumienia książki obliczają całkowitą moc emitowaną ze światła rozproszonego obszaru jako emitted radiance * area * pi. Ponieważ jednostką promieniowania jest W / (sr * m ^ 2), pomnożenie obszaru daje W / sr. To sprawia, że ​​myślę, że współczynnik pi reprezentuje kąt stały - ale dlaczego tylko 1pi? Odgadłbym 2pi, ponieważ każdy punkt na obszarze światła promieniowałby na całej półkuli (odpowiadającej steradianom 2pi).

Rzeczywisty kod wymieniony w książce można znaleźć tutaj .

Co ja mylę? Dlaczego total emitted power = emitted radiance * area * piświatła rozproszone mają sens?

Promieniowanie (pod względem strumienia) ma następującą definicję:

$L_o = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega^\perp\mathrm{d}A} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\cos{\theta} \mathrm{d}\omega \mathrm{d}A}$.

Zatem, aby uzyskać całkowitą emitowaną moc, musimy całkować na obszarze światła i musimy całkować na rzutowanym stałym kącie półkuli (w kierunku normalnej powierzchni). Promieniowanie świateł obszarowych w pbrt jest stałe. To daje nam:

$\Phi = \int_A \int_{H^2(\mathbf{n})} L_o\mathrm{d}\omega^\perp \mathrm{d}A = \int_A \int_{H^2(\mathbf{n})} L_o \cos\theta \mathrm{d}\omega \mathrm{d}A = \int_A L_o \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}A = \int_A L_o \pi \mathrm{d}A = A \cdot L_o \cdot \pi$

Myślę, że założeniem (być może stwierdzonym, że nie, nie mam pod ręką tekstu) jest założenie, że promieniowanie jest emitowane w rozkładzie płata cosinusowego. Oznacza to, że występuje spadek proporcjonalny do cosinusa kąta między normalną emiterem a kierunkiem emisji.

Jeśli spojrzysz w globalnym kompendium oświetlenia , w obszarze Geometria półkuli, zestaw równań (30), zobaczysz, że całka na półkuli, modulowana przez płat kosinusowy, jest dokładnie pi.