Byłem w domu przyjaciela na obiedzie, a oni zasugerowali pomysł na „przestrzeń wektorową czynnika pierwszego”. W tej przestrzeni dodatnie liczby całkowite są wyrażane jako wektor w taki sposób, że n- ty element w wektorze jest liczbą razy, gdy n- ta liczba pierwsza dzieli liczbę. (Zauważ, że oznacza to, że nasze wektory mają nieskończoną liczbę terminów.) Na przykład 20 to

2 0 1 0 0 0 ...

Ponieważ jego pierwsza faktoryzacja wynosi 2 * 2 * 5 .

Ponieważ pierwsza faktoryzacja jest unikalna, każda liczba odpowiada jednemu wektorowi.

Możemy dodawać wektory, dodając ich pary. Jest to to samo, co pomnożenie liczb, z którymi są skojarzone. Możemy również dokonywać mnożenia skalarnego, co jest podobne do podnoszenia powiązanej liczby do potęgi.

Problem polega na tym, że ta przestrzeń nie jest w rzeczywistości przestrzenią wektorową, ponieważ nie ma odwrotności. Jeśli pójdziemy dalej i dodamy odwrotności i zamkniemy przestrzeń wektorową, możemy teraz wyrazić każdą dodatnią liczbę wymierną jako wektor. Jeśli utrzymamy fakt, że dodawanie wektora reprezentuje mnożenie. Zatem odwrotność liczby naturalnej jest odwrotnością.

Na przykład liczba 20 miała wektor

2 0 1 0 0 0 ...

Tak więc ułamek 1/20 jest odwrotny

-2 0 -1 0 0 0 ...

Gdybyśmy chcieli znaleźć wektor związany z ułamkiem takim jak 14/15 , znaleźlibyśmy 14

1 0 0 1 0 0 ...

i 1/15

0 -1 -1 0 0 0 ...

i pomnóż je przez dodanie wektora

1 -1 -1 1 0 0 ...

Teraz, gdy mamy przestrzeń wektorową, możemy ją zmodyfikować, aby utworzyć wewnętrzną przestrzeń produktu, nadając jej wewnętrzny produkt. Aby to zrobić, kradniemy wewnętrzny produkt, który klasycznie podaje przestrzenie wektorowe. Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów jest definiowany jako suma mnożenia parami ich terminów. Na przykład 20,14/15 można obliczyć w następujący sposób

20    =  2  0  1  0  0  0 ...
14/15 =  1 -1 -1  1  0  0 ...
         2  0 -1  0  0  0 ...  -> 1

Jako kolejny przykład produkt 2/19 · 4/19

2/19 = 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 ...
4/19 = 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 ...
       2 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 ... -> 3

Twoim zadaniem jest wdrożenie programu, który wykonuje ten produkt kropkowy. Powinien przyjmować dwie dodatnie liczby wymierne za pośrednictwem pary dodatnich liczb całkowitych (licznik i mianownik) lub typu wymiernego (liczby zmiennoprzecinkowe są niedozwolone, ponieważ powodują problemy z precyzją i podzielnością) i powinien wypisywać liczbę całkowitą reprezentującą iloczyn iloczynu dwóch wejścia.

To jest golf golfowy, więc odpowiedzi będą liczone w bajtach, przy czym mniej bajtów będzie lepszych.

Przypadki testowe

4 · 4 = 4
8 · 8 = 9
10 · 10 = 2
12 · 12 = 5
4 · 1/4 = -4
20 · 14/15 = 1
2/19 · 4/19 = 3

MATL , 12 bajtów

YF2:&Y)dwd*s

Dane wejściowe to tablica [num1 den1 num2 den2].

Wypróbuj online! Lub sprawdź wszystkie przypadki testowe .

Wyjaśnienie

Rozważ przykładowe dane wejściowe [20 1 14 15].

YF      % Implicit input: array of 4 numbers. Exponents of prime factorization.
        % Gives a matrix, where each row corresponds to one of the numbers in
        % the input array. Each row may contain zeros for non-present factors
        % STACK: [2 0 1 0
                  0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  0 1 1 0]
2:&Y)   % Push a submatrix with the first two rows, then a submatrix with the
        % other two rows
        % STACK: [2 0 1 0
                  0 0 0 0],
                 [1 0 0 1
                  0 1 1 0]
d       % Consecutive difference(s) along each column
        % STACK: [2 0 1 0
                  0 0 0 0],
                 [-1 1 -1 1]
wd      % Swap, and do the same for the other submatrix
        % STACK: [-1 1 -1 1]
                 [-2 0 -1 0]
*       % Element-wise product
        % STACK: [2 0 -1 0]
s       % Sum. Implicit display
        % STACK: 1

C (gcc) , 99 + 32 = 131 bajtów

• Korzystanie z flagi kompilatora wymaga 32 bajtów -D=F(v,V,e)for(;v%p<1;V+=e)v/=p;.

T,p,A,C;f(a,b,c,d){T=0;for(p=2;a+b+c+d>4;p++){A=C=0;F(a,A,1)F(b,A,~0)F(c,C,1)F(d,C,~0)T+=A*C;}a=T;}

Wypróbuj online!

Galaretka , 12 11 bajtów

ÆEz0_2/€P€S

Wypróbuj online!

Python 2 , 110 bajtów

l=input()
p=t=2
while~-max(l):r=i=0;exec"while l[i]%p<1:l[i]/=p;r+=1j**i\ni+=1\n"*4;t+=r*r;p+=1
print t.imag/2

Wypróbuj online!

Przyjmuje dane wejściowe jak [num1, num2, den1, den2]. Używa liczby zespolonej rdo przechowywania wpisów liczb pierwszych pdla dwóch uzasadnień i (r*r).imag/2do wyodrębnienia ich produktu r.real*r.imagw ramach sumy t. Dodanie 1j**idla i=0,1,2,3powoduje wykonanie każdej kombinacji zwiększania lub zmniejszania części rzeczywistej lub urojonej dla czterech liczb wejściowych.

Bubbler zapisał 2 bajty łączące wartości początkowe p=t=2.

Wolfram Language (Mathematica) , 55 bajtów

Dot@@PadRight[SparseArray[Rule@@@FactorInteger@#]&/@#]&

Wypróbuj online!

JavaScript (Node.js) , 104 ... 100 94 bajtów

F=(A,i=2)=>A.some(x=>x>1)&&([a,b,c,d]=A.map(G=(x,j)=>x%i?0:1+G(A[j]/=i,j)),a-b)*(c-d)+F(A,i+1)

Wypróbuj online!

Przekaż liczby jako tablicę [Num1, Den1, Num2, Den2].

Dzięki za Arnauld za naprawienie brakujących F=bez dodatkowych bajtów i 2 kolejnych bajtów mniej.

Wyjaśnienie i nie golfista

function F(A, i = 2) {                 // Main function, recursing from i = 2
 if (A.some(function(x) {              // If not all numbers became 1:
  return x > 1;
 })) {
  var B = A.map(G = function(x, j) {   // A recursion to calculate the multiplicity
   if (x % i)
    return 0;
   else
    return 1 + G(A[j] /= i, j);        // ...and strip off all powers of i
  });
  return (B[0] - B[1]) * (B[2] - B[3]) // Product at i
   + F(A, i + 1);                      // Proceed to next factor. All composite factors 
 }                                     // will be skipped effectively
 else 
  return 0;                            // Implied in the short-circuit &&
}

J , 19 bajtów

1#.*/@,:&([:-/_&q:)

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie:

Czasownik dynamiczny, argumenty znajdują się zarówno po lewej, jak i po prawej stronie

         &(        ) - for both arguments (which are lists of 2 integers)
               _&q:  - decompose each number to a list of prime exponents
           [:-/      - and find the difference of these lists
       ,:            - laminate the resulting lists for both args (to have the same length)
   */@               - multiply them
1#.                  - add up 

Stax , 11 bajtów

ä÷ß½♂←√:=Ü]

Uruchom i debuguj

Odpowiada to reprezentacji ascii tego samego programu.

{|nmMFE-~-,*+

Zasadniczo pobiera wykładniki pierwszej faktoryzacji dla każdej części. Pobiera różnicę dla każdej pary, następnie produktu, i na koniec sumuje wszystkie wyniki.

Python 2 , 133 127 bajtów

a=input();s=0;p=2;P=lambda n,i=0:n%p and(n,i)or P(n/p,i+1)
while~-max(a):a,(w,x,y,z)=zip(*map(P,a));s+=(w-x)*(y-z);p+=1
print s

Wypróbuj online!

Ukradnij warunek pętli od złożenia xnora .

Dzięki za radę @mathmandan, aby zmienić funkcję w program (tak, rzeczywiście zaoszczędził kilka bajtów).

Przestarzałe, nieprawidłowe rozwiązanie (124 bajty):

lambda w,x,y,z:sum((P(w,p)-P(x,p))*(P(y,p)-P(z,p))for p in[2]+range(3,w+x+y+z,2))
P=lambda n,p,i=1:n%p and i or P(n/p,p,i+1)

Haskell , 153 bajty

(2%)
n%m|all(<2)m=0|(k,[a,b,c,d])<-unzip[(,)=<<div x.max 1.(n*)$until((>0).mod x.(n^))(+1)1-1|x<-m]=(a-b)*(c-d)+[i|i<-[n..],all((>0).rem i)[2..i-1]]!!1%k

Wypróbuj online! Przykładowe zastosowania dla 20 · 14/15: (2%) [20,1,14,15].