Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej A jest zdefiniowane jako wielomian p _A (x) = det ( I X ), gdzie I jest macierzą jednostkową , a det się determinant . Zauważ, że ta definicja zawsze daje nam monomiczny wielomian, dzięki czemu rozwiązanie jest unikalne.

Twoim zadaniem w tym wyzwaniu jest obliczenie współczynników charakterystycznego wielomianu dla macierzy o wartości całkowitej, do tego możesz użyć wbudowanych, ale jest to odradzane.

Zasady

• wejście to macierz liczb całkowitych NxN (N ≥ 1) w dowolnym dogodnym formacie
• twój program / funkcja wyświetli / zwróci współczynniki w kolejności rosnącej lub malejącej (proszę określić, które)
• współczynniki są normowane w taki sposób, że współczynnik x ^N wynosi 1 (patrz przypadki testowe)
• nie musisz obsługiwać nieprawidłowych danych wejściowych

Przypadki testowe

Współczynniki podano w porządku malejącym (tj. X ^N , x ^N-1 , ..., x ² , x, 1):

[0] -> [1 0]
[1] -> [1 -1]
[1 1; 0 1] -> [1 -2 1]
[80 80; 57 71] -> [1 -151 1120] 
[1 2 0; 2 -3 5; 0 1 1] -> [1 1 -14 12]
[4 2 1 3; 4 -3 9 0; -1 1 0 3; 20 -4 5 20] -> [1 -21 -83 559 -1987]
[0 5 0 12 -3 -6; 6 3 7 16 4 2; 4 0 5 1 13 -2; 12 10 12 -2 1 -6; 16 13 12 -4 7 10; 6 17 0 3 3 -1] -> [1 -12 -484 3249 -7065 -836601 -44200]
[1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 1; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 1 1; 1 1 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 0 0 1] -> [1 -6 10 -6 3 -2 0 0]

SageMath , 3 bajty

5 bajtów zapisanych dzięki @Mego

fcp

Wypróbuj online!

Pobiera Matrixjako dane wejściowe.

fcpoznacza f actorization o c haracteristic p olynomial,

który jest krótszy niż normalne wbudowane charpoly.

Oktawa , 16 4 bajtów

@ BruteForce właśnie powiedział mi, że jedna z funkcji, z których korzystałem w poprzednim rozwiązaniu, może faktycznie wykonać całą pracę:

poly

Wypróbuj online!

16 bajtów: To rozwiązanie oblicza wartości własne macierzy wejściowej, a następnie buduje wielomian z podanych pierwiastków.

@(x)poly(eig(x))

Ale oczywiście jest też nudno

charpoly

(potrzebuje symbolicmatrycy typów w Octave, ale działa ze zwykłymi macierzami w MATLAB.)

Wypróbuj online!

Pari / GP , 8 bajtów

charpoly

Wypróbuj online!

Pari / GP , 14 bajtów

m->matdet(x-m)

Wypróbuj online!

R , 53 bajty

function(m){for(i in eigen(m)$va)T=c(0,T)-c(T,0)*i
T}

Wypróbuj online!

Zwraca współczynniki w porządku rosnącym; tj a_0, a_1, a_2, ..., a_n.

Oblicza wielomian, znajdując wartości własne macierzy.

R + pracma , 16 bajtów

pracma::charpoly

pracma jest biblioteką „PRACtical MAth” dla języka R i ma całkiem sporo przydatnych funkcji.

Mathematica, 22 bajty

Det[MatrixExp[0#]x-#]&

-7 bajtów od alephalpha
-3 bajtów od Misha Lavrov

Wypróbuj online!

i oczywiście...

Mathematica, 29 bajtów

#~CharacteristicPolynomial~x&

Wypróbuj online!

obie odpowiedzi generują wielomian

Haskell , 243 223 222 bajtów

s=sum
(&)=zip
z=zipWith
a#b=[[s$z(*)x y|y<-foldr(z(:))([]<$b)b]|x<-a]
f a|let c=z pure[1..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[s[b|(n,b)<-c&a,n==m]|(a,m)<-a#m&c]`div`k)=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c

Wypróbuj online!

Dzięki @ ØrjanJohansen za pomoc w golfa!

Wyjaśnienie

Wykorzystuje on algorytm Faddeev – LeVerrier do obliczenia współczynników. Oto nie golfowa wersja z bardziej szczegółowymi nazwami:

-- Transpose a matrix/list
transpose b = foldr (zipWith(:)) (replicate (length b) []) b

-- Matrix-matrix multiplication
(#) :: [[Int]] -> [[Int]] -> [[Int]]
a # b = [[sum $ zipWith (*) x y | y <- transpose b]|x<-a]


-- Faddeev-LeVerrier algorithm
faddeevLeVerrier :: [[Int]] -> [Int]
faddeevLeVerrier a = snd <$> scanl go (zero,1) [1..n]
  where n = length a
        zero = replicate n (replicate n 0)
        trace m = sum [sum [b|(n,b)<-zip [1..n] a,n==m]|(m,a)<-zip [1..n] m]
        diag d = [[sum[d|x==y]|y<-[1..n]]|x<-[1..n]]
        add as bs = [[x+y | (x,y) <- zip a b] | (b,a) <- zip as bs]
        go (u,d) k = (m, -trace (a#m) `div` k)
          where m = add (diag d) (a#u)

_{Uwaga: wziąłem to prosto z tego rozwiązania}

Python 2 + numpy , 23 bajty

from numpy import*
poly

Wypróbuj online!

MATL , 4 bajty

1$Yn

Wypróbuj online!

To tylko port odpowiedzi flawr na Octave , więc zwraca współczynniki w malejącej kolejności, tj.[a_n, ..., a_1, a_0]

1$Yn          # 1 input Yn is "poly"

CJam (48 bajtów)

{[1\:A_,{1$_,,.=1b\~/A@zf{\f.*1fb}1$Aff*..+}/;]}

Zestaw testów online

Sekcja

Jest to dość podobne do mojej odpowiedzi na Determinant macierzy liczb całkowitych . Ma pewne poprawki, ponieważ znaki są różne i ponieważ chcemy zachować wszystkie współczynniki, a nie tylko ostatni.

{[              e# Start a block which will return an array
  1\            e#   Push the leading coefficient under the input
  :A            e#   Store the input matrix in A
  _,            e#   Take the length of a copy
  {             e#     for i = 0 to n-1
                e#       Stack: ... AM_{i+1} i
    1$_,,.=1b   e#       Calculate tr(AM_{i+1})
    \~/         e#       Divide by -(i+1)
    A@          e#       Push a copy of A, bring AM_{i+1} to the top
    zf{\f.*1fb} e#       Matrix multiplication
    1$          e#       Get a copy of the coefficient
    Aff*        e#       Multiply by A
    ..+         e#       Matrix addition
  }/
  ;             e#   Pop AM_{n+1} (which incidentally is 0)
]}