Jak Kepler „odgadł” swoje trzecie prawo na podstawie danych?

To niesamowite, że Kepler określił swoje trzy prawa, patrząc na dane, bez kalkulatora i używając tylko długopisu i papieru. Można sobie wyobrazić, w jaki sposób udowodnił, że jego prawa opisują dane po ich domniemaniu, ale nie rozumiem, jak je odgadł.

W szczególności skupię się na trzecim prawie Keplera, które stwierdza, że ​​kwadrat okresu orbity planety jest proporcjonalny do sześcianu pół-dużej osi orbity.

Zakładam, że Kepler pracował tylko z danymi o planetach, a także o własnym księżycu i słońcu. Przyjmuję to założenie, ponieważ nie sądzę, aby Kepler miał dane o innych księżycach, kometach lub asteroidach, których nie zaobserwował jeszcze teleskop. Jeśli to prawda, wiedząc, że Neptun, Uran i Pluton nie zostały jeszcze odkryte, gdy Kepler żył, oznacza to, że Kepler miał mniej niż 9 punktów danych do pracy.

Mój przyjaciel twierdzi, że całkowicie zrozumiałe jest, w jaki sposób Kepler odgadł tę relację (chociaż nie podaje żadnej metody, jak Kepler mógł to zrobić), a także, że obserwacje Keplera „nie są takie trudne”. Jako wyzwanie podałem znajomemu tabelę danych z jedną kolumną oznaczoną , drugą yi 9 współrzędnymi ( x , y ), które pasują do relacji x 4 = y 3 . I powiedział: „proszę znaleźć zależność między X i Y ”, i jak można się spodziewać, nie udało mu się to zrobić.$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Wyjaśnij mi, jak na świecie Kepler odgadł tę relację przy tak małej liczbie punktów danych. I jeśli moje założenie, że liczba punktów danych, które Kepler miał do dyspozycji, jest niewielkie, jest błędne, to nadal uważam, że dość trudno odgadnąć ten związek bez kalkulatora.

Trzecie prawo Keplera jest (moim zdaniem) trywialne w porównaniu z jego pierwszym prawem. Jestem pod wrażeniem, że był w stanie wywnioskować, że orbity były elipsami. Aby to osiągnąć, musiał iść w tę iz powrotem, planując kierunek Marsa z Ziemi i kierunek Ziemi z Marsa. Znał długość lat obu planet, więc obserwacje dokonane w odstępie jednego roku Marsa będą się różnić tylko dlatego, że Ziemia się poruszyła.

Ale może nie takie banalne. Opublikował swoje pierwsze dwa prawa w 1609 roku. Trzecie prawo pojawiło się dopiero w dziesięć lat później, w 1619 roku. Po dziesięciu latach pracy nad nim, w końcu można znaleźć nawet najbardziej niejasne relacje.

$x^4 = y^3$$3/4$

Czas jest odpowiedni. Napier opublikował swoją książkę o logarytmach w 1614 r. Być może Kepler pod wpływem kaprysu zastosował to błyszczące nowe narzędzie matematyczne do swoich starych, skorumpowanych danych.

Główną przeszkodą było to, że w tym czasie istniało tylko sześć znanych planet, więc nie miał wielu punktów danych, a te, które miał, nie były precyzyjne.

Innym problemem Keplera jest to, że żadne z jego praw nie miało dla niego sensu. Pasują do danych, ale nie miał pojęcia, dlaczego. Nie miał praw ruchu Newtona, z których mógłby pracować, nie miał pojęcia o sile, pędzie, momencie pędu, a na pewno nie o grawitacji. O ile wiedział, planety poruszały się tak, jak to robili, ponieważ Bóg tak zarządził, a aniołom powierzono zadanie popychania planet wzdłuż ich orbit. Zewnętrzne planety poruszały się wolniej, ponieważ były popychane przez pomniejsze anioły.

(Feynman czyni komentarz, który rozumiemy teraz o wiele bardziej. Wiemy teraz, że anioły są na zewnątrz i pchają się w stronę Słońca.)

Relacja Keplera o tym, jak powstało trzecie prawo, jest następująca (Caspar str. 286; moje podkreślenie):

8 marca tego roku 1618, jeśli potrzebne są dokładne informacje o czasie, pojawiły się w mojej głowie. Ale miałem pecha, kiedy wstawiłem to do obliczeń i odrzuciłem jako fałszywe. W końcu, 15 maja, przyszedł ponownie i wraz z nowym początkiem podbił mrok mego umysłu, gdy nastąpiło tak doskonałe porozumienie między siedemnastoletnią pracą nad obserwacjami tychońskimi a obecną naradą, że początkowo uważałem, że miałem śniłem i zakładałem poszukiwane dowody potwierdzające. Jest jednak całkowicie pewne i dokładne, że proporcja między okresowymi czasami dowolnych dwóch planet jest dokładnie półtora razy większa niż proporcja średnich odległości .

Chociaż Kepler tak naprawdę nie opisuje inspiracji, która skłoniła go do uwierzenia, ciekawe sformułowanie stanowi bardzo silną wskazówkę w połączeniu z pewnymi informacjami biograficznymi:

1. John Napier opublikował Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto w 1614 r., Który zawierał nowy wówczas wynalazek logarytmów. Kepler był świadomy dzieła Napiera do 1617 roku (Caspar s. 308), być może wcześniej.
2. Joost Bürgi opublikował pracę nad logarytmami niemal w tym samym czasie co Napier, a Kepler był podobnie świadomy Bürgi, chwaląc nawet jego zdolności matematyczne jako przewyższające większość profesorów matematyki.

Zatem oświadczenie Keplera jest równoważne stwierdzeniu, że dane tworzą nachylenie 1,5 na wykresie log-log, co jest bardzo prostą zależnością liniową na tej skali.

Referencje:

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).