MLE parametru lokalizacji w rozkładzie Cauchy'ego

Po wycentrowaniu można przyjąć , że dwa pomiary x i −x są niezależnymi obserwacjami z rozkładu Cauchy'ego z funkcją gęstości prawdopodobieństwa:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Pokaż, że jeśli $x^2≤ 1$ MLE z $\theta$ wynosi 0, ale jeśli $x^2>1$ , są dwa MLE z $\theta$ , równe ± $\sqrt {x^2-1}$

Myślę, że aby znaleźć MLE, muszę rozróżnić prawdopodobieństwo dziennika:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Więc,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

które następnie uprościłem do

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Teraz uderzyłem w ścianę. Prawdopodobnie w pewnym momencie się pomyliłem, ale tak czy inaczej nie jestem pewien, jak odpowiedzieć na pytanie. Czy ktoś może pomóc?

— użytkownik123965
źródło

Proszę wyjaśnić, dlaczego podzieliłeś x na -x i + x? To moja praca domowa i utknąłem na tym etapie. Myślę, że zastosowałeś do niego Metodę Raphsona Newtona. Ale nie rozumiem, jak to zastosować. Powiedz mi proszę?

— user89929,

W twoich obliczeniach jest literówka matematyczna. Pierwszy warunek dla maksimum to:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

Jeśli to czas w nawiasie nie może wynosić zero (oczywiście dla rzeczywistych rozwiązań), więc pozostaje ci tylko rozwiązanie . $x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

Jeśli masz więc oprócz punktu kandydującego również otrzymujesz $x^2 >1$ $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ $\theta =0$

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, for \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

Musisz także uzasadnić, dlaczego w tym przypadku nie jest już MLE. $\hat \theta =0$

UZUPEŁNIENIE

Dla wykres prawdopodobieństwa logarytmu wynosi $x =\pm 0.5$ wprowadź opis zdjęcia tutaj

podczas gdy dla wykres prawdopodobieństwa logarytmu jest, $x =\pm 1.5$ wprowadź opis zdjęcia tutaj

Teraz wszystko, co musisz zrobić, to udowodnić to algebraicznie, a następnie zastanowić się „dobrze, a który z nich powinienem wybrać?”

— Alecos Papadopoulos
źródło

Dzięki! Nie rozumiem, dlaczego nie byłoby już MLE

θ = 0

$\theta=0$

— użytkownik123965

— Wykonaj

+1 świetna odpowiedź. Może to być również interesujące: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— losowy użytkownik

@random_user Dzięki! - Pozwoliłem sobie na włączenie fabuły do odpowiedzi.

— Alecos Papadopoulos

2. pochodna dodatnia, a więc lokalne minimum

— Alecos Papadopoulos