Rozkład prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych?

Mam wątpliwości: rozważ zmienne losowe o wartościach rzeczywistych $X$ i $Z$ oba zdefiniowane w przestrzeni prawdopodobieństwa $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ .

Pozwolić $Y:= g(X,Z)$ , gdzie $g(\cdot)$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych. Od $Y$ jest funkcją zmiennych losowych jest to zmienna losowa.

Pozwolić $x:=X(\omega)$ tj. realizacja $X$ .

Jest $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ równy $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable

— użytkownik3285148
źródło

Ponieważ twoja notacja jest raczej skrócona, warto zauważyć, że domyślnie odnosi się do jakiegoś zestawu Borela

A

$A$ , z zastrzeżeniem uniwersalnego kwantyfikatora, a zatem pełniejsze ujęcie twojego pytania brzmiałoby, czy tak jest

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@ whuber: twoja ostatnia równość jest ważna tylko wtedy, gdy

X

$X$ i

Z

$Z$ są niezależne.

— Zen

OK, zastanawiasz się tylko „czy to jest tak, że ...”.

— Zen

Gdyby $g$ jest zatem mierzalny

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ trzyma się

P_{X}

$P_X$ -aa

x

$x$ . W szczególności jeśli

Z

$Z$ jest niezależny od

X

$X$ , następnie

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ trzyma się

P_{X}

$P_X$ -aa

x

$x$ .

Zależy to od następującego ogólnego wyniku:

Gdyby $U,T$ i $S$ są zmiennymi losowymi i $P_S(\cdot \mid T=t)$ oznacza regularne prawdopodobieństwo warunkowe o wartości $S$ dany $T=t$ , tj $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$ , następnie
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

Dowód : zapewnia to definicja regularnego prawdopodobieństwa warunkowego

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$ dla mierzalnych i całkowitych

ψ

$\psi$ . Teraz pozwól

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$ dla jakiegoś zestawu Zestaw Borela

B

$B$ . Następnie

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$ z

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$ Od

B

$B$ było arbitralne, stwierdzamy to

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$ .

Teraz pozwól $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ I użyć $(*)$ z $U=\psi(X,Z)$ , gdzie $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ i $S=Z$ , $T=X$ . Następnie zauważamy, że

E [U ∣ X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) ∣ X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$ z definicji warunkowego oczekiwania, a zatem przez

(*)

$(*)$ mamy

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) & = E [U ∣ X = x] = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z ∣ X = x) \\ = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— Stefan Hansen
źródło