Dlaczego powtarzane pomiary ANOVA zakładają sferyczność?

Przez sferyczność rozumiem założenie, że wariancja wszystkich różnic par między grupami powinna być taka sama.

W szczególności nie rozumiem, dlaczego powinno to być założenie, a nie, że wariancje samych obserwowanych wyników grupowych są takie same.

— user1205901 - Przywróć Monikę
źródło

Jak skomentowałem tutaj , ponieważ zmienne różnicowe między poziomami RM są powiązane, ze względu na swoje pochodzenie, sferyczność oznacza, że mają one te same wariancje.

— ttnphns

Przed udzieleniem odpowiedzi pomocne byłoby wiedzieć, czy rozumiesz, dlaczego niezależne pomiary ANOVA zakłada homogeniczność wariancji.

— Jan

@John Rozumiem, że to odpowiedź podana na stronie stats.stackexchange.com/questions/81914/... poprawnie odpowiada na to pytanie.

— user1205901 - Przywróć Monikę

@ttnphns Niestety nie do końca rozumiem twoją odpowiedź. Czy ty lub ktoś inny byłby zainteresowany, aby przekształcić go w bardziej szczegółową odpowiedź?

— user1205901 - Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

Intuicja za założeniem sferyczności

Jednym z założeń wspólnych, nie powtarzanych pomiarów, ANOVA jest jednakowa wariancja we wszystkich grupach.

(Możemy to zrozumieć, ponieważ równa wariancja, znana również jako homoscedastyczność , jest potrzebna, aby estymator OLS w regresji liniowej był NIEBIESKI, a odpowiednie testy t były ważne, patrz twierdzenie Gaussa-Markowa . I ANOVA można zaimplementować jako liniową regresja.)

Spróbujmy więc zredukować przypadek RM-ANOVA do przypadku nie-RM. Dla uproszczenia będę miał do czynienia z jednoczynnikowym RM-ANOVA (bez efektów między podmiotami ), który ma pacjentów zarejestrowanych w warunkach RM. $n$ $k$

Każdy obiekt może mieć własne przesunięcie specyficzne dla obiektu lub przechwycenie. Jeśli odejmiemy wartości w jednej grupie od wartości we wszystkich innych grupach, anulujemy te przechwyty i dojdziemy do sytuacji, w której będziemy mogli użyć metody innej niż RM-ANOVA do przetestowania, czy wszystkie różnice grup są zerowe. Aby test był ważny, potrzebujemy założenia równych wariancji tych różnic . $k-1$ $k-1$

Teraz możemy odjąć grupę nr 2 od wszystkich innych grup, ponownie dochodząc do różnic które również powinny mieć równe wariancje. Dla każdej grupy z wariancje odpowiadających różnic powinny być równe. Szybko wynika, że wszystkie możliwe różnice powinny być równe. $k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

To jest właśnie założenie sferyczności.

Dlaczego wariancje grupowe nie powinny być sobie równe?

Kiedy że RM-ANOVA, to zazwyczaj, że prosty dodatków modelu mieszanego modelu stylu postać w którym są efekty zastrzeżeniem, jest efekty warunkowe i .

y_{ja jot} = μ + α_{ja} + β_{jot} + ϵ_{ja jot},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

W tym modelu różnice grupowe będą następować po , tj. Wszystkie będą miały tę samą wariancję , więc zachodzi sferyczność. Ale każda grupa będzie podążać za mieszaniną Gaussianów ze średnimi w wariancjami , co jest pewnym skomplikowanym rozkładem z wariancją która jest stała między grupami. $\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

Zatem w tym modelu odchylenia grupowe są również takie same. Grupy kowariancji są również takie same, co oznacza, że model ten zakłada złożoną symetrię . Jest to bardziej rygorystyczny warunek w porównaniu do sferyczności. Jak pokazuje mój powyższy intuicyjny argument, RM-ANOVA może działać dobrze w bardziej ogólnej sytuacji, gdy napisany powyżej model addytywny nie ma zastosowania .

Dokładne stwierdzenie matematyczne

Mam zamiar dodać tu coś z Huynh & FELDT, 1970, warunki, w jakich Mean kwadratowe Wskaźniki w powtarzanych pomiarów wzory dokładnych -Distributions $F$ .

Co się stanie, gdy pęknie sferyczność?

Gdy sferyczność się nie utrzymuje, możemy prawdopodobnie oczekiwać, że RM-ANOVA (i) ma nadmuchany rozmiar (więcej błędów typu I), (ii) ma zmniejszoną moc (więcej błędów typu II). Można to zbadać za pomocą symulacji, ale nie zamierzam tego tutaj robić.

— ameba
źródło

Okazuje się, że efektem naruszenia kulistości jest utrata mocy (tj. Zwiększone prawdopodobieństwo błędu typu II) i statystyka testowa (współczynnik F), której po prostu nie można porównać do tabelarycznych wartości rozkładu F. Test F staje się zbyt liberalny (tzn. Odsetek odrzuceń hipotezy zerowej jest większy niż poziom alfa, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Dokładne badanie tego tematu jest bardzo zaangażowane, ale na szczęście Box i wsp. Napisali o tym artykuł: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

Krótko mówiąc, sytuacja wygląda następująco. Po pierwsze, powiedzmy, że mamy projekt z powtarzanymi pomiarami z jednym czynnikiem dla badanych S i eksperymentalnych zabiegów A W tym przypadku efekt zmiennej niezależnej jest badany przez obliczenie statystyki F, która jest obliczana jako stosunek średniej kwadratowej efektu do średniej kwadratowej interakcji między czynnikiem przedmiotowym a zmienną niezależną. Gdy utrzymuje się sferyczność, statystyki te mają rozkład Fishera z i stopnie swobody. $\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

W powyższym artykule Box ujawnił, że gdy sferyczność zawodzi, prawidłowa liczba stopni swobody staje się stosunku F zależy od sferyczności tak: $\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ϵ (ZA - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2)} = ϵ (ZA - 1) (S. - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

Również Box wprowadził wskaźnik sferyczności, który stosuje się do macierzy kowariancji populacji . Jeśli nazywamy wpisy z tej tabeli AXA, to indeks $\xi_{a,a}$

ϵ = \frac{{(\sum_{za}^{} ξ_{za, za})}^{2)}}{(ZA - 1) \sum_{za, {za}^{'}}^{} ξ_{za, {za}^{'}}^{2)}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

Indeks sferyczności Boxa najlepiej rozumieć w odniesieniu do wartości własnych macierzy kowariancji. Przypomnijmy, że macierze kowariancji należą do klasy pozytywnych półokreślonych macierzy i dlatego zawsze mają dodatnie wartości zerowe. Zatem warunek sferyczności jest równoważny z tym, że wszystkie wartości własne są równe stałej.

Tak więc, gdy sferyczność zostanie naruszona, powinniśmy zastosować pewną korektę dla naszych statystyk F, a najbardziej znaczącymi przykładami tych poprawek są na przykład Greenhouse-Geisser i Huynh-Feldt

Bez poprawek wyniki będą stronnicze i tak niewiarygodne. Mam nadzieję że to pomoże!

— Ogromny akademik
źródło

+1. Skomentuję później, ale na razie twój pierwszy akapit miesza moc i rozmiar testu. Co zostaje naruszone, gdy zostaje naruszona sferyczność? Poziom błędu typu I poniżej zera? Czy moc? Lub obie? Prawdopodobnie masz na myśli jedno i drugie, ale sformułowanie nie jest zbyt jasne (tak myślę). Poza tym to nie jest „Box et al”, tylko Box :)

— ameba

Myślę, że moc zostanie osłabiona głównie, ponieważ, jak pokazał Box, w przypadku naruszenia sferyczności musimy polegać na zupełnie innych statystykach (z innymi stopniami swobody). Jeśli nie będziemy na tym polegać, w zależności od tego, jak silne jest nasze naruszenie, będziemy mieli większy odsetek odrzuceń hipotezy zerowej.

— Ogromny akademik

Przepraszam, wciąż zdezorientowany, teraz przez twój komentarz: „większy odsetek odrzuconych zer” - masz na myśli, kiedy zerowy jest rzeczywiście prawdziwy? Ale to nie ma nic wspólnego z mocą, jest to współczynnik błędów typu I.

— ameba

+10. Przyznam nagrodę za tę odpowiedź: jest dobra, a także jest to jedyna odpowiedź, która pojawiła się w okresie nagrody. Nie jestem w pełni usatysfakcjonowany twoją odpowiedzią (jeszcze?) I zacząłem pisać własną odpowiedź (obecnie niekompletną, ale już opublikowaną), ale mam tylko częściowe zrozumienie podstawowej matematyki. Twoja odpowiedź zdecydowanie pomogła, a odniesienie do Box 1954 jest również bardzo pomocne.

— ameba

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

Średnia próbki dla i-tej grupy to

{\bar{y}}_{ja . .} = \frac{1}{jot K.} \sum_{jot = 1}^{jot} \sum_{k = 1}^{K.} y_{ja jot k}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

a przedmiotem tego pierwszego przedmiotu jest

{\bar{y}}_{ja jot .} = \frac{1}{K.} \sum_{k = 1}^{K.} y_{ja jot k}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

Zakładając niezależność między podmiotami, wariancja różnicy między dwoma średnimi grupowymi wynosi

V. za r ({\bar{y}}_{ja . .} - {\bar{y}}_{{ja}^{'} . .}) = \frac{1}{{jot}^{2)}} \sum_{jot = 1}^{jot} V. za r ({\bar{y}}_{ja jot .}) + \frac{1}{{jot}^{2)}} \sum_{{jot}^{'} = 1}^{jot} V. za r ({\bar{y}}_{{ja}^{'} {jot}^{'} .})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

Rozsądne jest oczekiwanie, że powtarzane pomiary u pacjenta są skorelowane. Więc, $Var(\bar{y}_{ij.})$ nie jest tak proste jak $\sigma^{2}/K$ z $\sigma^{2}$ będące wariancją każdej obserwacji. Niezależnie od tego, czy $Var(\bar{y}_{ij.})$ zakłada się, że jest stały dla wszystkich badanych, można w sposób prawidłowy wykonać „prosty” 2-próbny test t w celu porównania 2 średnich grupowych. Zatem jedną z motywacji do zakładania stałych wariancji jest wykonanie ważnego i prostego testu t.

Teraz do podniesionego pytania o sferyczność.

Interesujące może być porównanie średnich próbek między dowolnymi dwoma punktami czasowymi $\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$ , gdzie

{\bar{y}}_{. . k} = \frac{1}{ja jot} \sum_{ja = 1}^{ja} \sum_{jot = 1}^{jot} y_{ja jot k} .

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$ To porównanie wymaga znalezienia wariancji różnic między parami

y_{i j k}

$y_{ijk}$ i

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$ na wszystkie tematy. W szczególności, przy zwykłym założeniu niezależności między podmiotami,

V. za r ({\bar{y}}_{. . k} - {\bar{y}}_{. . k^{'}}) = \frac{1}{(ja jot)^{2)}} \sum_{ja = 1}^{ja} \sum_{jot = 1}^{jot} V. za r (y_{ja jot k} - y_{ja jot k^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

Dlatego przy założeniu stałej wariancji wszystkich różnic parowych ważne jest wykonanie testu t po oszacowaniu wspólnej wariancji. To założenie wraz ze stałą wariancją każdej obserwacji implikuje, że kowariancja między dowolną parą pomiarów jest stała we wszystkich parach - Sergioma świetny post na ten temat. W związku z tym założenia tworzą strukturę wariancji-kowariancji dla powtarzanych pomiarów każdego pacjenta jako macierzy o stałej po przekątnej i innej stałej po przekątnej. Kiedy wszystkie poziome przekroje są zerowe, zmniejsza się do modelu całkowicie niezależnego (co może być nieodpowiednie dla wielu powtarzanych badań pomiarowych). Gdy poziome przekątne są takie same jak przekątna, powtarzane pomiary są doskonale skorelowane dla obiektu, co oznacza, że każdy pojedynczy pomiar jest tak dobry, jak wszystkie pomiary dla każdego obiektu. Uwaga końcowa - gdy K = 2 w naszym prostym projekcie podziału wykresu, warunek sferyczności jest automatycznie spełniony.

— T Lin
źródło