Co jeśli prawdopodobieństwo nie jest równe w „Regule .632?”

To pytanie pochodzi od tego, które dotyczy „Reguły .632”. Piszę ze szczególnym uwzględnieniem odpowiedzi / notacji użytkownika user603 w zakresie, w jakim upraszcza to sprawę.

Ta odpowiedź zaczyna się od próbki o wielkości z zamianą, z różnych elementów w kolekcji (wywołaj) it N. Prawdopodobieństwo, że próbka jest różna od określonego elementu N, wynosi wtedyn i t h s i m ( 1 - 1 / n ) $n,$$n$$i^{th}$$s_i$$m$$(1 - 1/n).$

W tej odpowiedzi wszystkie elementy N mają równe szanse na losowanie.

Moje pytanie brzmi: załóżmy zamiast tego, że w powyższym pytaniu elementy do narysowania są takie, że są normalnie rozmieszczone. Oznacza to, że dzielimy standardową krzywą normalną od do na (powiedzmy) 100 podinterwali o równej długości. Każde ze 100 elementów w N ma prawdopodobieństwo narysowania równe powierzchni objętej krzywą w odpowiednim przedziale.$Z = -4$$Z = 4$

Moje myślenie było następujące:

Myślę, że rozumowanie jest podobne do tego w połączonej odpowiedzi. Prawdopodobieństwo, że , przy czym jest elementem N, to w którym jest prawdopodobieństwem wyciągnięcia$s_i \ne m$$m$$P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$$F_i$$s_i.$

Prawdopodobieństwo, że dany element m znajduje się w próbce S o rozmiarze n, wynosi

= 1 - n gatunku 1 ( 1 - F ı )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Obliczenia wydają się pokazywać, że wraz ze zmniejszaniem się długości pod-przedziałów odpowiedź zbiega się do tej samej liczby, co w pierwszym przypadku (wszystkie prawdopodobieństwa są równe).$s_i$

Wydaje mi się to sprzeczne z intuicją (dla mnie), ponieważ konstrukcja wydaje się wrzucać elementy N, które są rzadkie, więc oczekiwałbym liczby mniejszej niż .632.

Ponadto, jeśli jest to poprawne, myślę, że mielibyśmy

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

które nie wiem jeszcze, czy są prawdziwe czy fałszywe.

Edycja: Jeśli to prawda, prawdopodobnie uogólni niektóre.

Dzięki za wszelkie spostrzeżenia.

Pytanie dotyczy ograniczenia zachowania

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

gdy rośnie, a równomiernie kurczą się w taki sposób, że (a) wszystkie są nieujemne i (b) sumują się do jedności. ( to z konstrukcji i aksjomatów prawdopodobieństwa.)$n$$F_i$ $F_i$

Z definicji ten produkt jest wykładnikiem logarytmu:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Lagrange'a) zastosowane do , potwierdza to$\log$

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

dla niektórych w przedziale . Innymi słowy, logarytmy te są równe do warunków, które są najwyżej razy . Ale gdy jest wystarczająco duże, aby zapewnić, że wszystkie są mniejsze niż niektóre podane (warunek zapewniony przez jednolity skurcz ), wtedy (b) oznacza i dlatego$\phi_i$$[0, F_i]$$-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

w konsekwencji

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

ściska logarytm między dwiema sekwencjami zbiegającymi się do . Ponieważ jest ciągły, produkt zbiega się do wykładniczej granicy tego, . w konsekwencji$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED .

---

Przy bliższym przyjrzeniu się tej analizie stwierdzono, że błąd w tym przybliżeniu (który zawsze będzie dolną granicą) nie jest większy niż Na przykład podział standardowego rozkładu normalnego na plasterków między a daje maksymalne pobliżu trybu , gdzie będzie w przybliżeniu równe powierzchni prostokąta, . Powyższe ograniczenie ustanawia wartość wzoru w granicach od jego wartości granicznej. Rzeczywisty błąd jest o rząd wielkości mniejszy,

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ $n=400$$-4$$4$$F_i$$0$$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$$(1)$$0.011$$0.001041$ . Oto obliczenia w R(którym możemy zaufać, ponieważ żaden z jest naprawdę mały w stosunku do ):$f_i$$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

Rzeczywiście, 1 - prod(1-f)wynosi podczas gdy to .$0.6331615\ldots$$1-\exp(-1)$$0.6321206\ldots$