Kwadrat rozkładu normalnego z określoną wariancją

Jaki jest rozkład kwadratu normalnie dystrybuowanej zmiennej losowej z ? Wiem, że jest poprawnym argumentem przy kwadratowaniu standardowego rozkładu normalnego , ale co z przypadkiem wariancji niejednostkowej? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution

— CodeTrek
źródło

Dlaczego nie obliczyć tego bezpośrednio z równania normalnego, a następnie wykreślić wynikową funkcję?

Szukam wyjaśnienia teoretycznego tutaj ...

— CodeTrek

Zapis ... lub równoważnie . Czy możesz zrobić to teraz?

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$ ? Więc nic z wymyślnych, niepośrodkowanych elementów chi-kwadrat?

— CodeTrek

Dopóki średnia wynosi , nie ma niecentralnych elementów chi-kwadrat; prostu wanilia skalowane rozkładu jako Glen_b wskazuje.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate

Aby zamknąć ten:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
źródło

To jest źle. Jeśli

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

alenie

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Dzielisz

przez niewłaściwy czynnik. Zajrzyj tutaj:en.wikipedia.org/wiki/…

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter

@Euler_Salter Czy sprawdziłeś, jak zmienna

jest zdefiniowana w pytaniu PO?

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

Och, tęskniłem za tym! Czytaj za szybko! Przeprosiny

— Euler_Salter

@Euler_Salter Również znormalizowana zmienna ma rozkład chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Musisz go wyrównać, aby uzyskać kwadrat chi.

— Alecos Papadopoulos