Bayesowska analiza tabel awaryjnych: Jak opisać wielkość efektu

Pracuję nad przykładami z Doing Bayesian Data Analysis Kruschke , a konkretnie wykładniczą ANOVA wykładniczą Poissona w rozdz. 22, który przedstawia jako alternatywę dla częstych testów chi-kwadrat niezależności dla tabel awaryjnych.

Widzę, w jaki sposób otrzymujemy informacje o interakcjach, które występują częściej lub rzadziej niż można by się spodziewać, gdyby zmienne były niezależne (tj. Kiedy HDI wyklucza zero).

Moje pytanie brzmi: w jaki sposób mogę obliczyć lub zinterpretować wielkość efektu w tych ramach? Na przykład Kruschke pisze „połączenie niebieskich oczu z czarnymi włosami zdarza się rzadziej niż można by oczekiwać, gdyby kolor oczu i kolor włosów były niezależne”, ale jak możemy opisać siłę tego skojarzenia? Jak mogę stwierdzić, które interakcje są bardziej ekstremalne niż inne? Gdybyśmy przeprowadzili test chi-kwadrat tych danych, moglibyśmy obliczyć V Craméra jako miarę ogólnej wielkości efektu. Jak wyrazić wielkość efektu w tym kontekście bayesowskim?

Oto samodzielny przykład z książki (zakodowany R), na wypadek gdyby odpowiedź była dla mnie ukryta na pierwszy rzut oka ...

df <- structure(c(20, 94, 84, 17, 68, 7, 119, 26, 5, 16, 29, 14, 15, 
10, 54, 14), .Dim = c(4L, 4L), .Dimnames = list(c("Black", "Blond", 
"Brunette", "Red"), c("Blue", "Brown", "Green", "Hazel")))

df

         Blue Brown Green Hazel
Black      20    68     5    15
Blond      94     7    16    10
Brunette   84   119    29    54
Red        17    26    14    14

Oto wyniki częstych z miarami wielkości efektu (nie w książce):

vcd::assocstats(df)
                    X^2 df P(> X^2)
Likelihood Ratio 146.44  9        0
Pearson          138.29  9        0

Phi-Coefficient   : 0.483 
Contingency Coeff.: 0.435 
Cramer's V        : 0.279

Oto wynik Bayesa z HDI i prawdopodobieństwami komórek (bezpośrednio z książki):

# prepare to get Krushkes' R codes from his web site
Krushkes_codes <- c(
  "http://www.indiana.edu/~kruschke/DoingBayesianDataAnalysis/Programs/openGraphSaveGraph.R", 
  "http://www.indiana.edu/~kruschke/DoingBayesianDataAnalysis/Programs/PoissonExponentialJagsSTZ.R")

# download Krushkes' scripts to working directory
lapply(Krushkes_codes, function(i) download.file(i, destfile = basename(i)))

# run the code to analyse the data and generate output
lapply(Krushkes_codes, function(i) source(basename(i)))

A oto wykresy tylnego modelu wykładniczego Poissona zastosowanego do danych:

I wykresy rozkładu tylnego na szacowanych prawdopodobieństwach komórki:

Według indeksu Kruschke wspomina tylko o wielkości efektu dwa razy i oba razy są w kontekście zmiennej przewidywanej metryki. Ale jest to trochę na p. 601:

Jeśli badacz jest zainteresowany naruszeniem niezależności, wówczas interesuje go wielkość $\beta_{rc}$. Model jest szczególnie przydatny do tego celu, ponieważ można zbadać dowolne kontrasty interakcji, aby ustalić, gdzie powstaje brak niezależności.

Więc to rozumiem $\beta_{1,2}$to parametr do interpretacji. Pozwolić$S$ równa się sumie produktów wszystkich współczynników i odpowiadających im elementów x, z wyłączeniem $\beta_{1,2}$ i $x_{1,2}$. Od$y_i {\raise.17ex\hbox{$\scriptstyle\sim$}} Pois(\lambda_i)$ i $\lambda_i = e^{\beta_{1,2} x_{1,2} + S} = e^{\beta_{1,2} x_{1,2}} e^S$. Kiedy$x_{1,2}$ = 1 zatem $\lambda_i$ rośnie lub kurczy się o współczynnik $e^{\beta_{1,2}}$nie

Jednym ze sposobów badania wielkości efektu w modelu ANOVA jest spojrzenie na odchylenia standardowe „super populacji” i „populacji skończonej”. Masz tabelę dwukierunkową, więc są to 3 komponenty wariancji (2 główne efekty i 1 interakcja). Jest to oparte na analizie mcmc. Obliczasz odchylenie standardowe dla każdego efektu dla każdej próbki mcmc.

Gdzie $k$indeksuje „wiersz” tabeli ANOVA. Proste wykresy pudełkowe próbek mcmc$s_k$ vs $k$ są dość pouczające w zakresie rozmiarów efektów.

Andrew Gelman opowiadał się za takim podejściem. Zobacz jego artykuł z 2005 r. „Analiza wariancji: dlaczego jest ważniejsza niż kiedykolwiek”