Wzór estymatora regresji kwantowej

Widziałem dwie różne reprezentacje estymatora regresji kwantowej

Q (β_{q}) = \sum_{ja : y_{ja} \geq x_{ja}^{'} β}^{n} q ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{ja : y_{ja} < x_{ja}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{ja} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

gdzie $u_i = y_i - x'_i \beta_q$ . Czy ktoś może mi powiedzieć, jak pokazać równoważność tych dwóch wyrażeń? Oto, czego do tej pory próbowałem, zaczynając od drugiego wyrażenia.

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Ale od tego momentu utknąłem, jak postępować. Proszę nie pamiętać, że nie jest to zadanie domowe ani pytanie o zadanie. Wielkie dzięki.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
źródło

Jeśli pamiętasz, OLS minimalizuje sumę kwadratów reszt podczas gdy regresja mediany minimalizuje sumę absolutnych reszt . Estymator mediany lub najmniejszych odchyleń absolutnych (LAD) jest szczególnym przypadkiem regresji kwantylu, w którym masz . W regresji kwantylowej minimalizujemy sumę błędów bezwzględnych, które otrzymują wagi asymetryczne w przypadku nadmiernego przewidywania i przypadku niedoszacowania. Możesz zacząć od reprezentacji LAD i rozszerzyć ją jako sumę ułamka danych ważonych przez i biorąc pod uwagę ich wartość , i pracować nad tym w następujący sposób: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{i} > 0) q ∣ u_{i} ∣ + 1 (u_{i} \leq 0) (1 - q) ∣ u_{i} ∣ \\ = 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ Wykorzystuje to po prostu fakt, że a następnie można ponownie napisać funkcję wskaźnika jako sumę obserwacji spełniających warunki wskaźników . To da pierwsze wyrażenie, które zapisałeś dla estymatora regresji kwantowej.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{ja : y_{ja} > x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{ja : y_{ja} > x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{ja : y_{ja} > x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{ja : y_{ja} > x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) - \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) + q \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{ja = 1}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) - \sum_{ja = 1}^{n} 1 (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{ja = 1}^{n} (q - 1 (u_{ja} \leq 0)) u_{ja} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

Druga linia usuwa wagi z sumowań. Trzeci wiersz pozbywa się wartości bezwzględnych i zastępuje je wartościami rzeczywistymi. Z definicji ma wartość ujemną za każdym razem, gdy , stąd zmiana znaku w tym wierszu. Czwarta linia mnoży się . Wtedy zdajesz sobie sprawę, że i zastępując sumę terminu średniego w czwartym wierszu odpowiednim wskaźnikiem przybywasz do piątej linii. Faktoryzacja, a następnie zamiana $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{ja : y_{ja} > x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) + q \sum_{ja : y_{ja} \leq x_{ja}^{'} β_{q}}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q}) = \sum_{ja = 1}^{n} (y_{ja} - x_{ja}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
To pokazuje, jak dwa wyrażenia są równoważne.

— Andy
źródło