Co dokładnie nazywa się „głównym składnikiem” w PCA?

Załóżmy, jest wektorem, który maksymalizuje odchylenie występu danych z matrycy projektu .$u$$X$

Teraz widziałem materiały, które określają jako (pierwszy) główny składnik danych, który jest również wektorem własnym o największej wartości własnej.$u$

Widziałem jednak również, że głównym składnikiem danych jest .$X u$

Oczywiście i to różne rzeczy. Czy ktoś może mi pomóc tutaj i powiedzieć, jaka jest różnica między tymi dwiema definicjami głównych składników?X $u$$Xu$

Nie ma absolutnej słusznie zauważyć, że mimo iż (jeden z wektorów własnych macierzy kowariancji np pierwszy) i X u (rzutowanie danych na podprzestrzeni 1-wymiarowego objętej przez U ) to dwa różne miejsca, mająca często nazywane są „głównym składnikiem”, czasem nawet w tym samym tekście.$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$

$\mathbf{u}_i$

$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

$\mathbf u$

$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

Podsumowanie dwóch konwencji:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

---

Uwaga: Tylko wektory własne macierzy kowariancji odpowiadające niezerowym wartościom własnym można nazwać głównymi kierunkami / składnikami. Jeśli macierz kowariancji ma niską rangę, będzie miała jedną lub więcej zerowych wartości własnych; odpowiadające wektory własne (i odpowiadające im rzuty, które są stałe zero) nie powinny być nazywane głównymi kierunkami / składnikami. Zobacz dyskusję w mojej odpowiedzi tutaj.