Czy oczekiwanie jest tym samym, co wredne?

Robię ML na moim uniwersytecie, a profesor wspomniał termin Oczekiwanie (E), podczas gdy on próbował wyjaśnić nam kilka rzeczy na temat procesów Gaussa. Ale ze sposobu, w jaki to wyjaśnił, zrozumiałem, że E jest takie samo jak średnia μ. Czy zrozumiałem, prawda?

Jeśli jest tak samo, to czy wiesz, dlaczego używane są oba symbole? Widziałem też, że E może być użyte jako funkcja, jak E ( ), ale nie widziałem tego dla μ. $x^2$

Czy ktoś może mi pomóc lepiej zrozumieć różnicę między nimi?

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— Jim Blum
źródło

Dla ciągłego

gdzie

jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jest to prawdą tylko wtedy, gdy argumentem jest

Jednak może być również prawdą, jeśli mamy

, gdzie

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

jest czymś innym niż funkcja tożsamości.

g

$g$

— Jase

@Jase

? Dlaczego prawa strona jest funkcją

, która powinna zniknąć po podstawieniu granic podczas oceny całki?

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate

było literówką. Oznacza to, że

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— Jase

John: gdybym był tobą, uczyłbym się podstawowego prawdopodobieństwa przed przystąpieniem do zajęć uczenia maszynowego / procesów gaussowskich. Spójrz na tę książkę: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— Zen

Wielkie dzięki chłopaki za pomoc! Nie spodziewałem się tak wielu opinii. @Zen Dziękuję bardzo za porady. Całkowicie się z Tobą zgadzam. Wziąłem moduł jako licencjat na prawdopodobieństwa i statystyki, jednak mieliśmy proste wprowadzenie do rozkładów i prawdopodobieństw i niestety nie zrobiliśmy ich dogłębnie. Ponadto nie wymieniliśmy terminu „oczekiwanie”. Usiłuję teraz, by zaspokoić swoje luki w statystykach i prawdopodobieństwach.

— Jim Blum,

Odpowiedzi:

Oczekiwana / Oczekiwana wartość to operator, który można zastosować do zmiennej losowej. W przypadku dyskretnych zmiennych losowych (takich jak dwumianowe) o możliwych wartościach określa się je jako $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ . Oznacza to, że jest to średnia z możliwych wartości ważona prawdopodobieństwem tych wartości. Ciągłych losowe mogą być traktowane jako uogólnienia następująco: . Średnia zmiennej losowej jest synonimem oczekiwania. $\int x dP$

Rozkład Gaussa (normalny) ma dwa parametry i . Jeśli jest normalnie rozłożony, to . Tak więc średnia zmiennej rozproszonej Gaussa jest równa parametrowi . Nie zawsze tak jest. Weźmy rozkład dwumianowy, który ma parametry i . Jeśli jest rozkład dwumianowy, to . $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

Jak widzieliście, można również zastosować oczekiwanie do funkcji zmiennych losowych, aby dla Gaussowskiego można było znaleźć, że $X$ . $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

Strona Wikipedii dotycząca oczekiwanych wartości jest dość pouczająca: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— Jeremy Coyle
źródło

„... tak, że dla Gaussowskiego

można znaleźć, że

” Czy absolutnie konieczne jest, aby

autorstwa Gaussiana utrzymał ten związek?

X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

— Dilip Sarwate

Związek

zawsze będzie istniał, ale oczekiwałbym odpowiedzi zapisanej w kategoriach parametrów rozkładu. Gdybym więc zapytał kogoś, czym jest

dla

dwumianu rozproszonego

, oczekiwałbym odpowiedzi

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$ , a nie

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

— Jeremy Coyle

Ale jeśli zapytasz, co to było

dla dwumianowej zmiennej losowej o średniej

i wariancji

, odpowiedź brzmiałaby

. Pewnik, że dwumianowy zmienne losowe są zwykle programowane za pomocą

, ale co z tego? Ze średniej i wariancji możemy łatwo znaleźć

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

p = 1 - \frac{zmienność}{oznaczać}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

n = \frac{oznaczać}{p} = \frac{{oznaczać}^{2)}}{oznaczać - zmienność} .

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

— Dilip Sarwate

Celem całego przykładu było rozróżnienie między parametrami rozkładu a momentami rozkładu. Tak, możliwe jest sparametryzowanie rozkładów pod względem ich momentów, ale ponieważ OP pytał o związek między

, wydaje się ważne, aby nadal robić to rozróżnienie. Czy istnieje powód, dla którego chcesz być pedantyczny w tej kwestii?

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

— Jeremy Coyle

Wielkie dzięki Jeremy! Doskonała odpowiedź. byłeś bardzo pomocny!

— Jim Blum

Oczekiwanie na notację operatora E () (można znaleźć różne preferencje dotyczące dobrych czcionek, alfabetu łacińskiego lub kursywy, zwykłego lub fantazyjnego) implikuje wzięcie pod uwagę argumentu, ale w kontekście matematycznym lub teoretycznym. Termin pochodzi od Christiaan Huygens w XVII wieku. Pomysł jest wyraźny w większości teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, a na przykład w książce Petera Whittle'a Prawdopodobieństwo przez oczekiwanie wyjaśnia, w jaki sposób można go uczynić jeszcze bardziej centralnym.

Zasadniczo jest to tylko kwestia konwencji, że średnie (średnie) są również często wyrażane raczej inaczej, zwłaszcza za pomocą pojedynczych symboli, a zwłaszcza, gdy te środki mają być obliczane na podstawie danych. Jednak Whittle w cytowanej książce używa notacji A () do uśredniania, a nawiasy kątowe wokół zmiennych lub wyrażeń, które mają być uśredniane, są powszechne w naukach fizycznych.

— Nick Cox
źródło