Proste przykłady nieskorelowanych, ale nie niezależnych i

Każdy pracowity uczeń jest kontrprzykładem dla „wszyscy uczniowie są leniwi”.

Jakie są proste kontrprzykłady na „jeśli zmienne losowe i są nieskorelowane, to są one niezależne”?$X$$Y$

Niech .$X\sim U(-1,1)$

Niech .$Y=X^2$

Zmienne są nieskorelowane, ale zależne.

Alternatywnie, rozważ dyskretny rozkład dwuwymiarowy składający się z prawdopodobieństwa w 3 punktach (-1,1), (0, -1), (1,1) z prawdopodobieństwem odpowiednio 1/4, 1/2, 1/4. Następnie zmienne są nieskorelowane, ale zależne.

Rozważ dwuwymiarowe dane jednolite w rombie (kwadrat obrócony o 45 stopni). Zmienne będą nieskorelowane, ale zależne.

To są najprostsze przypadki, o których mogę myśleć.

Myślę, że istotę niektórych prostych kontrprzykładów można zobaczyć, rozpoczynając od ciągłej zmiennej losowej wyśrodkowanej na zero, tj. E [ X ] = 0 . Załóżmy, że pdf X jest parzysty i zdefiniowany w przedziale formy ( - a , a ) , gdzie a > 0 . Załóżmy teraz, że Y = f ( X ) dla niektórych funkcji f . Zadajemy teraz pytanie: dla jakich funkcji f ( X ) możemy mieć C $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

Wiemy, że . Nasze założenie, że E [ X ] = 0 prowadzi nas prosto do C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Oznaczając pdf X za pomocą p ( ⋅ ) , mamy$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

.$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

Chcemy a jednym ze sposobów osiągnięcia tego jest zapewnienie, że f ( x ) jest funkcją parzystą, co oznacza, że x f ( x ) p ( x ) jest funkcją nieparzystą. Wynika z tego, że ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 , a więc C o $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ .$Cov(X,f(X))=0$

W ten sposób widzimy, że dokładny rozkład jest nieważna jako wzdłuż jako pdf jest symetryczny wokół pewnym momencie i każdej nawet funkcja f ( ⋅ ) zrobi dla definiowania Y .$X$$f(\cdot)$$Y$

Mamy nadzieję, że pomoże to uczniom zobaczyć, jak ludzie wymyślają tego rodzaju kontrprzykłady.

Bądź kontrprzykładem (tj. Pracowity student)! Powiedziawszy to:

Próbowałem wymyślić przykład z prawdziwego świata i był to pierwszy, który przyszedł mi do głowy. Nie będzie to matematycznie najprostszy przypadek (ale jeśli zrozumiesz ten przykład, powinieneś być w stanie znaleźć prostszy przykład z urnami i piłkami lub coś takiego).

Według niektórych badań średnie IQ mężczyzn i kobiet jest takie samo, ale wariancja męskiego IQ jest większa niż wariancja kobiecego IQ. Dla konkretności, powiedzmy, że męskie IQ następuje po a żeńskie IQ następuje po N ( 100 , α σ 2 ) z α < 1 . Połowa populacji to mężczyźni, a połowa populacji to kobiety.$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Zakładając, że to badanie jest poprawne:

Jaka jest korelacja płci i IQ?

Czy płeć i IQ są niezależne?

Możemy zdefiniować dyskretną zmienną losową z P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

a następnie zdefiniuj $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Można łatwo zweryfikować, że i Y są nieskorelowane, ale nie niezależne.$X$$Y$

Spróbuj tego (kod R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Wynika to z równania koła $x^2+y^2-r^2=0$

nie jest skorelowane z x , ale jest funkcjonalnie zależne (deterministyczne). $Y$$x$

Jedynym ogólnym przypadkiem, gdy brak korelacji implikuje niezależność, jest to, że łączny rozkład X i Y ma charakter Gaussa.

Odpowiedź na dwa zdania: najjaśniejszym przypadkiem nieskorelowanej zależności statystycznej jest nieliniowa funkcja RV, powiedzmy Y = X ^ n. Dwa RV są wyraźnie zależne, ale nie są skorelowane, ponieważ korelacja jest relacją liniową.