Czy istnieje formuła zamknięta dla (lub pewnego rodzaju powiązania) EMD między i ?x 2 ∼ N ( μ 2 , Σ 2 )
Czy istnieje formuła zamknięta dla (lub pewnego rodzaju powiązania) EMD między i ?x 2 ∼ N ( μ 2 , Σ 2 )
Odpowiedzi:
Odległość można zapisać jako , gdzie infimum jest przejmowane przez wszystkie wspólne rozkłady X i Y z marginesowymi X \ sIM P , Y \ sIM Q . Jest to również znane jako pierwsza odległość Wassersteina , która wynosi W_p = \ inf \ left (\ E \ lVert X - Y \ rVert ^ p \ right) ^ {1 / p} z tym samym minimum.
Niech , .
Dolna granica: według nierówności Jensena, ponieważ normy są wypukłe,
Górna granica oparta na :
Znów nierówność Jensena,
. Zatem . Ale Dowson i Landau (1982) ustalili, że
Węższa górna granica:
rozważ sprzężenie
To jest mapa opracowana przez Knott i Smitha (1984) , O optymalnym odwzorowaniu rozkładów , Journal of Optimization Theory and Applications, 43 (1) str. 39–49 jako optymalne odwzorowanie dla ; zobacz także ten post na blogu . Zauważ, że i
Odległość wynosi wtedy , gdzie teraz
co jest normalne z
Zatem górna granica dla to . Niestety, forma zamknięta dla tego oczekiwania jest zaskakująco nieprzyjemna w przypadku ogólnych norm wielowymiarowych: patrz to pytanie , jak również to .
Jeśli wariancja jest sferyczna (np. Jeśli , , wówczas wariancja staje się ), poprzednia pytanie daje odpowiedź w postaci uogólnionego wielomianu Laguerre'a.
Ogólnie rzecz biorąc, mamy prostą górną granicę dla opartą na nierówności Jensena, wyprowadzoną np. Z tego pierwszego pytania:
Ta nierówność jest surowa, o ile nie ulega degeneracji, co w większości przypadków występuje w przypadku .
Przypuszczenie : Może ta bliższa górna granica, , jest ciasna. Z drugiej strony, przez długi czas miałem tutaj inną górną granicę, którą przypuszczałem, że jest ciasna, która w rzeczywistości była luźniejsza niż , więc może nie powinieneś zbytnio ufać tej . :)