Czy regresja Coxa ma podstawowy rozkład Poissona?

Nasz mały zespół prowadził dyskusję i utknął. Czy ktoś wie, czy regresja Coxa ma podstawowy rozkład Poissona. Dyskutowaliśmy, że być może regresja Coxa przy stałym ryzyku będzie podobna do regresji Poissona z silną wariancją. Jakieś pomysły?

Tak, istnieje związek między tymi dwoma modelami regresji. Oto ilustracja:

Załóżmy, że podstawowe zagrożenie jest stałe w czasie: . W takim przypadku funkcją przeżycia jest$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

a funkcja gęstości to

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

To jest pdf wykładniczej zmiennej losowej z oczekiwaniem .$\lambda^{-1}$

Taka konfiguracja daje następujący parametryczny model Coxa (z oczywistymi notacjami):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

W ustawieniach parametrycznych parametry są szacowane przy użyciu klasycznej metody prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo dziennika jest podane przez

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

$d_{i}$

$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

W związku z tym można uzyskać szacunki przy użyciu następującego modelu Poissona:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

$\beta_0 = \log(\lambda)$