Odwracanie transformacji Fouriera dla rozkładu Fishera

Charakterystyczną funkcją rozkładu Fishera jest: gdzie to zbieżna funkcja hipergeometryczna . Ja próbuje rozwiązać odwrotną transformatę Fouriera z -convolution odzyskania gęstości zmiennej , to jest: w celu uzyskania rozkładu sumy $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - i t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, x}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Zmienne losowe dystrybuowane przez Fishera. Zastanawiam się, czy ktoś ma jakiś pomysł, ponieważ wydaje się bardzo trudny do rozwiązania. Próbowałem wartości

α = 3

$\alpha=3$ i

n = 2

$n=2$ bezskutecznie. Uwaga: dla

n = 2

$n=2$ przez splot otrzymuję pdf średniej (nie sumy):

\frac{3 (12 (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3) x^{2} + 9 (20 x^{4} + 27 x^{2} + 9) \log (\frac{4 x^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (x^{2} + 15) (4 x^{2} + 3) x^{3} \tan^{- 1} (\frac{2 x}{\sqrt{3}}))}{π^{2} x^{3} {(x^{2} + 3)}^{3} (4 x^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

gdzie $x$ jest średnią z 2 zmiennych. Wiem, że jest nieporęczny, ale chciałbym dowiedzieć się o przybliżeniu rozkładu basenu.

— Nero
źródło

czy to pytanie jest żywe?

— Brethlosze

Tak, wciąż jest otwarty.

— Nero

Zakładam, że masz pakiet symboliczny, prawda?

— Brethlosze

(?) Podobne: mathoverflow.net/questions/184367/... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— Kjetil b Halvorsen

Nie ma gęstej postaci zamkniętej dla splotu statystyki F, więc próba analitycznego odwrócenia funkcji charakterystycznej prawdopodobnie nie doprowadzi do niczego użytecznego.

W statystyce matematycznej pochylone rozwinięcie Edgewortha (znane również jako przybliżenie punktu siodłowego) jest znaną i często stosowaną techniką aproksymacji funkcji gęstości, biorąc pod uwagę funkcję charakterystyczną. Przybliżenie punktu siodłowego, jeśli często niezwykle dokładne. Ole Barndorff-Nielsen i David Cox napisali podręcznik wyjaśniający tę technikę matematyczną.

Istnieją inne sposoby podejścia do problemu bez użycia funkcji charakterystycznej. Można się spodziewać, że rozkład splotu będzie kształtem przypominał rozkład F. Można wypróbować przybliżenie takie jak dla splotu, a następnie wybrać i aby poprawić pierwsze dwa momenty rozkładu. Jest to łatwe, biorąc pod uwagę znaną średnią i wariancję rozkładu F. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

$\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— Gordon Smyth
źródło