Rozkład sumy kwadratów zmiennych losowych o rozkładzie T.

Patrzę na rozkład sumy kwadratów zmiennych losowych o rozkładzie T, z wykładnikiem ogona $\alpha$ . Gdzie X jest rv, transformata Fouriera dla $X^2$ , $\mathscr{F}(t)$ daje mi rozwiązanie dla kwadratu przed splotem $\mathscr{F}(t)^n$ .

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

Przy $\alpha=3$ rozwiązanie jest możliwe, ale niewygodne i niemożliwe do odwrócenia, aby wykonać odwrotną Fouriera dla $\mathscr{F}(t)^n$ . Pytanie brzmi: czy wykonano prace nad rozkładem wariancji próbki lub odchyleniem standardowym zmiennych losowych o rozkładzie T? (Byłoby to dla Student T, czym jest Chi-kwadrat dla Gaussa). Dziękuję Ci.

(Możliwe rozwiązanie) Doszedłem do wniosku, że $X^2$ jest rozkładem Fishera $F(1,\alpha)$ , stąd przyjrzymy się sumie zmiennych rozproszonych Fishera.

$n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

$t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$, czego oczekujemy, gdy sumujemy zmienne kwadratowe (standardowe) normalne.]

Próbkowania Dystrybucja wariancji przy pobieraniu próbek z Dystrybucja$t_{\alpha }$

Biorąc pod uwagę to, co napisałem powyżej, wyrażenie, które otrzymujesz dla „gęstości odchylenia standardowego zmiennych T próbki n” jest nieprawidłowe. Jednak nawet jeśli byłby prawidłowym rozkładem, odchylenie standardowe nie jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym sumy kwadratów (jak się wydaje, do tej pory gęstość ). Zamiast tego (skalowanego) rozkładu próbkowania dla . W normalnym przypadku LHS tego wyrażenia można zapisać ponownie jako sumę kwadratowych zmiennych normalnych (termin wewnątrz kwadratu można przepisać jako liniową kombinację zmiennych normalnych, która jest normalnie rozłożona), co prowadzi do znajomy$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$Rozkład . Niestety, liniowa kombinacja zmiennych (nawet z tymi samymi stopniami swobody) nie jest rozkładana jako , więc nie można zastosować podobnego podejścia.$t$$t$

Być może powinieneś ponownie przemyśleć, co chcesz zademonstrować? Cel może być możliwy na przykład za pomocą niektórych symulacji. Wskazujesz jednak przykład za pomocą , sytuacji, w której tylko pierwszy moment jest skończony, więc symulacja nie pomoże w obliczeniach tego momentu. $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Możesz sprawdzić dystrybucję T Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Istnieją związki z będącym dystrybucją typu ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distribution_and_properties ), ale nie jestem pewien, czy o to właśnie prosisz. $T^2$$F$