Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmuje stały punkt

11

Jestem w klasie statystyk wprowadzających, w której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych została zdefiniowana jako . Rozumiem, że całka z ale nie mogę tego naprawić za pomocą intuicji ciągłej zmiennej losowej. Powiedz X to zmienna losowa równa liczbie minut od czasu t, kiedy pociąg przyjeżdża. Jak obliczyć prawdopodobieństwo dotarcia pociągu dokładnie za 5 minut? Jak to prawdopodobieństwo może wynosić zero? Czy to nie jest możliwe Co jeżeli pociąg ma przyjechać dokładnie 5 minut od teraz, jak to mogło mieć miejsce gdyby prawdopodobieństwo 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Dzięki.

— geofflittle
źródło

2

Pomocne jest postawienie niektórych z tych pytań na głowie. Na przykład , jeśli twoja intuicja mówi, że każdy możliwy czas musi mieć ściśle dodatnie prawdopodobieństwo, to - ponieważ istnieje niepoliczalny zestaw możliwych czasów w dowolnym przedziale - twoja intuicja sugeruje, że całkowite prawdopodobieństwo jest nieskończone. Oczywiście intuicja jest zła. Jedną z rzeczy, które należy porzucić, jest idea, że prawdopodobieństwo zerowe oznacza niemożliwość: to nieprawda. Podobnie prawdopodobieństwo jednego nie oznacza pewności.

— whuber

@ whuber Tego nie mogę naprawić. Jeśli prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi 0, to nigdy nie powinno się zdarzyć. Na przykład, jeśli mam standardową sześciościenną kostkę, prawdopodobieństwo, że wyrzucę dowolną liczbę wynosi 0, a zatem będzie nigdy się nie zdarzyło. Co więcej, w jaki sposób zdarzenie z prawdopodobieństwem 1 może nie być pewnością w kolejnym eksperymencie? Czy możesz podać przykład?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle,

1

Załóżmy, że widzisz okrąg, w którym pokazany jest akord i wygląda on na średnicę, co skłania cię do zastanowienia się: „jaka była szansa, że losowo wybrany akord nie byłby średnicą?”. Gdy akord jest uzyskiwany poprzez wybranie pary punktów równomiernie i niezależnie na obwodzie, odpowiedź wynosi , ale to zdarzenie nie miało miejsca. To zapewnia (dość silny!) Dowód, że akord nie był wynikiem losowego procesu, który ustaliłeś. Jedną z lekcji takich eksperymentów myślowych jest to, że intuicje oparte na skończonych przestrzeniach prawdopodobieństwa nie zawsze się uogólniają.

1

$1$

— whuber

8

Być może wpadłeś w pułapkę, że „pięć minut od teraz” trwa przez określony czas (co miałoby niezerowe prawdopodobieństwo).

„Pięć minut od teraz” w sensie ciągłej zmiennej jest naprawdę natychmiastowe.

Wyobraź sobie, że przyjazd następnego pociągu rozkłada się równomiernie między 8:00 a 8:15. Ponadto wyobraźmy sobie, że definiujemy przybycie pociągu jako występujące w chwili, gdy przód pociągu mija określony punkt na stacji (być może środek peronu, jeśli nie ma lepszego punktu orientacyjnego). Rozważ następującą sekwencję prawdopodobieństw:

a) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a 8:10

b) prawdopodobieństwo przybycia pociągu między 8:05 a 8:06

c) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05:00 a 8:05:01

d) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05:00 a 8: 05: 00.01 (tj. w przestrzeni jednej setnej sekundy

e) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a jedną miliardową sekundy później

f) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a jedną kwadrylionową sekundy później

... i tak dalej

Prawdopodobieństwo, że dotrze dokładnie o 8:05, jest wartością graniczną takiej sekwencji prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo jest mniejsze niż co . $\epsilon>0$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Rozumiem to, ale zakładając, że pociąg przyjeżdża, przyjeżdża w pewnym momencie. Dlaczego ten limit nadal nie może zbiegać się z pewnym prawdopodobieństwem?

— geofflittle,

Jeśli to rozumiesz, jak mówisz, możesz obliczyć prawdopodobieństwo we wskazany sposób. Pozwól mi to ułatwić: Wyobraź sobie dla wygody obliczeń, że dokładny czas, kiedy pociąg „przyjeżdża” (jakkolwiek go definiujemy, o ile faktycznie jest ciągły) w równomiernie rozłożonym czasie w przedziale (0,1) (w dowolnym jest dogodną jednostką czasu). Jakie jest prawdopodobieństwo, że pociąg dotrze przed czasem , dla pewnej w przedziale? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dotrze po czasie ? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dotrze między a ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b

(CTD) ... Mówiąc „przybywa na czas ” dla zmiennej ciągłej, czyli „co jest granica tego ostatniego prawdopodobieństwa jako . Więc co to jest granica? Work it out! To jest prawdopodobieństwo, do którego się zbliża. Ta funkcja jest ściśle związana z tym, co sprawia, że ciągły plik PDF jest ciągły.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b

Zwróć też uwagę, że jeśli ten ostatni limit jest inny niż zero, twoje trzy prawdopodobieństwa (przed

, po

i „at”

) nie dodają się do 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b

5

Co jeśli pociąg przyjedzie dokładnie za 5 minut, jak może się zdarzyć, gdyby miał prawdopodobieństwo 0?

Oświadczenie probabilistyczne nie jest stwierdzeniem o możliwości / wykonalności zdarzenia. Odzwierciedla jedynie naszą próbę oszacowania naszej niepewności co do tego, co się dzieje. Kiedy więc zjawisko ma charakter ciągły (lub jest modelowane jako jeden), wówczas nasze narzędzia i obecny stan wiedzy nie pozwalają nam na stwierdzenie probabilistyczne o tym, że przyjmuje określoną wartość . Możemy jedynie złożyć takie oświadczenie dotyczące zakresuwartości. Oczywiście zwykłą sztuczką jest tutaj dyskretne wsparcie, aby rozważyć „małe” przedziały wartości zamiast pojedynczych wartości. Ponieważ ciągłe zmienne losowe przynoszą ogromne korzyści i elastyczność w porównaniu z dyskretnymi zmiennymi losowymi, okazało się, że jest to raczej niewielka cena do zapłacenia, być może tak mała, jak interwały, które musimy wziąć pod uwagę.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Te stwierdzenia są zagadkowe, być może dlatego, że można je interpretować na wiele różnych sposobów. W niektórych miejscach zdaje się zaprzeczać zasadności stosowania ciągłych rozkładów do modelowania zjawisk - i czynić wyraźne rozróżnienie między zjawiskiem a modelem - w innych miejscach wydaje się, że całkowicie pomija się to rozróżnienie. Moje czytanie tego, co, jak podejrzewam, nie było zamierzone, polega na tym, że twierdzisz, że matematyczny fakt, że

dla dowolnego ciągłego RV jest w rzeczywistości zawsze fałszywy, ale to sprawia, że wydaje się, że zaprzeczasz stosowalność teorii prawdopodobieństwa!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

— whuber

2

Cześć @ Whuber. Jeśli chodzi o rozróżnienie między modelem a zjawiskiem, mapa Ziemi nie jest ziemią, ale może pomóc ci wędrować po ziemi. Tak myślę o modelach, kiedy nie traktuję ich jako obiektów czystej intelektualnej przyjemności (którymi one też są). Jeśli chodzi o kwestię „zerowego prawdopodobieństwa”, jest to niedoskonałość - czyż nie byłoby wspaniale mieć wszystkie zalety ciągłości i być w stanie wypowiedzieć prawdopodobieństwo o pojedynczej wartości? Ale bycie niedoskonałym nie oznacza oczywiście, że nie ma zastosowania, a jak piszę, ta niedoskonałość okazała się mało ważna.

— Alecos Papadopoulos

Domyślnie zakładasz, że prawdopodobieństwo jest obiektywną rzeczą „tam” w twojej analogii mapowania, ale tak nie jest. Prawdopodobieństwo ma znaczenie tylko w modelu. W aksjomatach prawdopodobieństwa nie widzę „niedoskonałości” i rzeczywiście można sformułować dokładne, spójne stwierdzenia dotyczące prawdopodobieństw pojedynczych wartości: często są one zerowe.

— whuber

2

@ whuber Nie. Nie przypuszczam tego i nie rozumiem, gdzie widziałeś to w tym, co napisałem. Powiedziałem „mapa nie jest ziemią”, co oznacza „to, co w modelu nie istnieje w rzeczywistości”, więc jak można wywnioskować z tego dokładnie odwrotnie? „Niedoskonałość” nie odnosi się do aksjomatów prawdopodobieństwa, ale do tego, do jakich narzędzi prowadzą te aksjomaty, oraz do tego, jak skutecznie można je wykorzystać do modelowania, badania i zrozumienia prawdziwego świata. I jest oczywiste, że uważam, że prawdopodobieństwo jest skutecznym narzędziem.

— Alecos Papadopoulos

4

Aby dać ci trochę intuicji w powyższym, wypróbuj następujący (myślowy) eksperyment:

Narysuj linijkę wokół zera wokół zera. Teraz weź ostrą strzałkę i niech spadnie losowo z góry na linię (załóżmy, że zawsze trafisz na linię i tylko argumentacja boczna ma znaczenie dla argumentu).

Niezależnie od tego, ile razy pozwolisz, aby lotka spadła losowo na linię, nigdy nie osiągniesz punktu zero. Czemu? Pomyśl, jaki jest punkt zero, pomyśl, jaka jest jego szerokość. A kiedy zauważysz, że jego szerokość wynosi 0, nadal myślisz, że możesz go trafić?

Czy będziesz w stanie trafić punkt 1 lub -2? Lub jakikolwiek inny punkt, który wybierzesz w tej sprawie?

Wracając do matematyki, jest to różnica między światem fizycznym a matematyczną koncepcją, taką jak liczby rzeczywiste (reprezentowane przez linię rzeczywistą w moim przykładzie). Teoria prawdopodobieństwa ma nieco bardziej skomplikowaną definicję prawdopodobieństwa, niż zobaczysz w swoim wykładzie. Aby oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń i dowolną kombinację ich wyników, potrzebujesz miary prawdopodobieństwa. Zarówno miara Borela, jak i miara Lebesgue'a są zdefiniowane dla przedziału [a, b] na linii rzeczywistej jako: z tej definicji można zobaczyć, co stanie się z prawdopodobieństwem, jeśli zmniejszysz interwał do liczby (ustawienie a = b).

μ ([za, b]) = b - za

$\mu([a,b])=b-a$

Najważniejsze jest to, że w oparciu o naszą obecną definicję teorii prawdopodobieństwa (datowaną na Kołmogorowa) fakt, że zdarzenie ma 0 prawdopodobieństwa, nie oznacza, że nie może wystąpić.

I jeśli chodzi o przykład z pociągiem, jeśli będziesz miał nieskończenie precyzyjny zegarek, Twój pociąg nigdy nie dotrze dokładnie na czas.

— oznacza znaczenie
źródło

x

$x$

x

$x$

Myślę, że musisz rozróżnić pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że trafię w jakiś punkt? Jeśli zgadzamy się, że zawsze rzucasz rzutką i zawsze uderza ona gdzieś wzdłuż linii, prawdopodobieństwo wynosi 1. Ponadto, nie mówię tylko, że nie trafisz 0. Mówię, że prawdopodobieństwo trafienia DOWOLNEGO punktu wybierzesz PRZED rzuceniem strzałką wynosi 0. W rzeczywistości możesz wybrać dowolny skończony zestaw punktów, a prawdopodobieństwo będzie nadal wynosić 0.

— oznacza to znaczy

Jeśli chodzi o twoje pytanie, rozumiem o co chodzi, ale pytanie o prawdopodobieństwa zdarzeń po ich wystąpieniu nie ma sensu. Stwierdzenie takie jak P (X = x) odnosi się do przyszłej realizacji losowej zmiennej X. Więc PO osiągnięciu pewnego punktu, nie powiem nic na ten temat. (wielkie litery używane tylko po to, by wskazać upływ czasu, a nie krzyczeć ...)

— znaczy znaczy

1

Rozkład prawdopodobieństwa musi mieć obszar jedności. Jeśli miara jest ciągła, wówczas istnieje nieskończona liczba wartości, które może przyjąć (tj. Nieskończona liczba wartości wzdłuż osi x rozkładu). Jedynym sposobem, w jaki całkowity obszar rozkładu prawdopodobieństwa może być skończony, jest to, aby wartość dla każdej z nieskończonej liczby wartości wynosiła zero. Jeden podzielony przez nieskończoność.

W „prawdziwym życiu” nie może być żadnych miar, które przyjmowałyby nieskończoną liczbę wartości (według kilku różnych argumentów filozoficznych, które nie mają tutaj większego znaczenia), więc żadna wartość nie musi przyjmować prawdopodobieństwa dokładnie zero. Przydatny argument praktyczny opiera się na skończonej precyzji pomiarów w świecie rzeczywistym. Jeśli użyjesz stopera mierzącego do jednej dziesiątej sekundy, pociąg będzie miał jedną dziesiątą sekundy, na którą dotrze „dokładnie” pięć minut.

— Michael Lew
źródło

3

Pierwszy akapit tutaj zapewnia jakąś niejasną intuicję, choć dedukcyjne kroki są nieprawidłowe. Istnieje wiele rozkładów, które dopuszczają nieskończoną liczbę wartości, ale każda wartość ma ściśle dodatnie prawdopodobieństwo. Drugi akapit może zyskać na przeformułowaniu, które podkreśla, że z każdą wartością pomiaru jest związany (mały) przedział możliwych wartości leżącej u podstaw interesu.

— kardynał

Jaka jest różnica między wartością ściśle dodatnią (wartości skończonej podzielonej przez nieskończoność?) A zerową w tym kontekście?

— Michael Lew,

2

Chodzi mi o to, prawdopodobnie źle sformułowane, że argument w pierwszym akapicie opiera się na fałszywym założeniu, że ponieważ zmienna losowa może przyjmować nieskończenie wiele wartości, każdy wynik musi mieć prawdopodobieństwo zerowe. Jest to oczywiście nieprawidłowe (Poissona, geometryczne itp.); pojęcie „nieskończoności” nie jest tutaj wystarczająco silne, wymagamy niepoliczalności .

— kardynał

0

$A$ $A$

Piszę to, aby, mam nadzieję, odnieść się do czegoś innego, co OP powiedział w komentarzach:

Mówisz „nigdy nie osiągniesz punktu zero”, ale co możesz powiedzieć o punkcie, w który uderzyłem przy pierwszym rzucie lotką? Niech 𝑥 będzie punktem, w który uderzyłem. Przed rzuceniem moją strzałką powiedziałbyś „nigdy nie osiągniesz celu 𝑥”, ale właśnie to uderzyłem. Co teraz?

$(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$

{fa}_{t} = {x \in [za, b] : strzałka uderza x o czasie t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ Na bardziej fundamentalnym poziomie nie jest jasne, dlaczego trzeba wywoływać maszynerię procesów stochastycznych w celu omówienia zmiennej losowej modelującej czas pojedynczego zdarzenia, ani nie jest oczywiste, że daje to wgląd.

— whuber