Wariancja średniej próbki próbki ładowania początkowego

9

Niech będą odrębnymi obserwacjami (bez powiązań). Niech oznacza próbkę bootstrap (próbka z empirycznego CDF) i niech . Znajdź i . $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

Do tej pory mam to, że to każdy z prawdopodobieństwem więc i co daje $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

Następnie and od ' są niezależne. To daje

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (X_{i}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

Jednak nie otrzymuję tej samej odpowiedzi, gdy na i używam formuły dla wariacyjnej wariancji: $X_{1},\ldots,X_{n}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V a r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, \dots, X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ i $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ więc podłączenie ich do powyższej formuły daje (po pewnej algebrze) $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$ .

Czy robię tu coś złego? Mam wrażenie, że nie używam poprawnie formuły wariancji warunkowej, ale nie jestem pewien. Każda pomoc będzie mile widziana.

— zamieszanie
źródło

Być może twoje V (E (X | X1..Xn)) nie jest poprawnie obliczone. Odpowiedź powinna być taka sama.

Prawdopodobnie masz rację - ale ta odpowiedź nie wydaje się zbyt pouczająca. Być może mógłbyś wskazać, która część jest nieprawidłowa?

— whuber

5

Prawidłowa odpowiedź to . Rozwiązaniem jest tutaj # 4 $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— Greg
źródło

4

To może być późna odpowiedź, ale to, co jest błędne w obliczeniach, jest następujące: założyłeś, że bezwarunkowo twoja próbka bootstrap jest iid. To nieprawda: zależnie od twojej próbki, próbka bootstrap jest rzeczywiście iid, ale bezwarunkowo tracisz niezależność (ale nadal masz identycznie rozmieszczone losowe zmienne). Jest to zasadniczo ćwiczenie 13 w Larry Wasserman Wszystkie statystyki nieparametryczne .

— M. Turgeon
źródło