Rozbieżność KL między dwoma jednowymiarowymi gaussami

Muszę ustalić rozbieżność KL między dwoma Gaussami. Porównuję moje wyniki z tymi , ale nie mogę odtworzyć ich wyników. Mój wynik jest oczywiście błędny, ponieważ KL nie jest równe 0 dla KL (p, p).

Zastanawiam się, gdzie popełniam błąd i pytam, czy ktokolwiek może to zauważyć.

Niech $p(x) = N(\mu_1, \sigma_1)$ i $q(x) = N(\mu_2, \sigma_2)$ . Z PRML Bishopa wiem o tym

$$KL(p, q) = - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx$$

gdzie integracja odbywa się na całej linii rzeczywistej i to

$$\int p(x) \log p(x) dx = -\frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2),$$

więc ograniczam się do $\int p(x) \log q(x) dx$ , który mogę zapisać jako

$$-\int p(x) \log \frac{1}{(2 \pi \sigma_2^2)^{(1/2)}} e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}} dx,$$

na które można podzielić

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) - \int p(x) \log e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}} dx.$$

Biorę dziennik, który dostaję

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) - \int p(x) \bigg(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} \bigg) dx,$$

gdzie oddzielam sumy i otrzymuję $\sigma_2^2$ z całki.

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2_2) + \frac{\int p(x) x^2 dx - \int p(x) 2x\mu_2 dx + \int p(x) \mu_2^2 dx}{2 \sigma_2^2}$$

POZWALAĆ $\langle \rangle$ oznacza operator wartości oczekiwanej mocy $p$ , można przepisać to jako

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\langle x^2 \rangle - 2 \langle x \rangle \mu_2 + \mu_2^2}{2 \sigma_2^2}.$$

Wiemy, że $var(x) = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$ . A zatem

$$\langle x^2 \rangle = \sigma_1^2 + \mu_1^2$$

i dlatego

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2) + \frac{\sigma_1^2 + \mu_1^2 - 2 \mu_1 \mu_2 + \mu_2^2}{2 \sigma_2^2},$$

co mogę umieścić jako

$$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}.$$

Łącząc wszystko, dochodzę do

$$\begin{align*} KL(p, q) &= - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx\\\\ &= \frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)\\\\ &= \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}. \end{align*}$$ Co jest złe, ponieważ wynosi$1$dla dwóch identycznych Gaussów.

Czy ktoś może zauważyć mój błąd?

Aktualizacja

Dzięki mpiktas za uporządkowanie sprawy. Poprawna odpowiedź to:

$KL(p, q) = \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2}$

OK, mój zły. Błąd znajduje się w ostatnim równaniu:

$$\begin{align} KL(p, q) &= - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx\\\\ &=\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)\\\\ &= \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} \end{align}$$

$-\frac{1}{2}$$\mu_1=\mu_2$$\sigma_1=\sigma_2$

$p$$\mu_1$$\sigma^2_1$$q$$\mu_2$$\sigma^2_2$$q$$p$

$\int \left[\log( p(x)) - log( q(x)) \right] p(x) dx$

$=\int \left[ -\frac{1}{2} \log(2\pi) - \log(\sigma_1) - \frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 + \frac{1}{2}\log(2\pi) + \log(\sigma_2) + \frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 \right]$ $\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2\right] dx$

$=\int \left\{\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 - \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 \right] \right\}$ $\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2\right] dx$

$=E_{1} \left\{\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 - \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 \right]\right\}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} E_1 \left\{(X-\mu_2)^2\right\} - \frac{1}{2\sigma_1^2} E_1 \left\{(X-\mu_1)^2\right\}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} E_1 \left\{(X-\mu_2)^2\right\} - \frac{1}{2}$

$(X - \mu_2)^2 = (X-\mu_1+\mu_1-\mu_2)^2 = (X-\mu_1)^2 + 2(X-\mu_1)(\mu_1-\mu_2) + (\mu_1-\mu_2)^2$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} \left[E_1\left\{(X-\mu_1)^2\right\} + 2(\mu_1-\mu_2)E_1\left\{X-\mu_1\right\} + (\mu_1-\mu_2)^2\right] - \frac{1}{2}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} - \frac{1}{2}$