Oczekiwanie ilorazu sum zmiennych losowych IID (arkusz Cambridge University)

Przygotowuję się do rozmowy kwalifikacyjnej, która wymaga przyzwoitej wiedzy na temat podstawowego prawdopodobieństwa (przynajmniej aby przejść przez sam wywiad). Pracuję nad poniższym arkuszem z moich dni studenckich jako wersją. W większości było to dość proste, ale jestem całkowicie zaskoczony pytaniem 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Każda pomoc będzie mile widziana.

Edycja: pytanie brzmi:

Załóżmy, że są niezależnymi identycznie rozmieszczonymi dodatnimi losowymi zmiennymi z i . Niech . Pokaż, że gdy , i gdy . $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

W rzeczywistości, w trakcie pisania tego, rozwiązałem drugą część.

Dla , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

a licznik i mianownik powyższego stosunku są wyraźnie niezależne, więc:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

i uzyskujemy pożądany rezultat.

Nadal utknąłem w pierwszej części.

probability self-study random-variable

— Władca Szpiega
źródło

Ważne jest, aby posty były samodzielne. Przeprowadź edycję, aby uwzględnić czytelną wersję pytania. Prosimy również o wskazanie, jakie metody wypróbowałeś i jakie postępy poczyniłeś: w przeciwnym razie nie mamy podstaw do oceny poziomu, na którym należy pisać odpowiedzi.

— whuber

Zaktualizowano zgodnie z życzeniem.

— Spy_Lord

Dobra robota! Oto sugestia dotycząca pierwszej części: kiedy dodasz identycznych kopii razem, wygląda na to, że suma będzie miała rozkład, którego oczekiwań można łatwo obliczyć przy użyciu samego założenia.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Doceniam twoją ofertę napisania tego; Myślę, że byłby to użyteczny dodatek do naszej strony.

— whuber

OK Myślę, że krok, który początkowo uważałem za słuszny, a następnie uznany za niewłaściwy, jest w rzeczywistości OK! Zasadniczo, gdy dojdziesz do punktu, w którym masz , to we właściwości iid jest identyczny z Czy możesz potwierdzić, że wszystko jest w porządku? Jeśli tak, napiszę to po pośpiechu.

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Odpowiedzi:

Spotting, aby dodać identycznych kopii jest bardzo sprytny! Ale niektórzy z nas nie są tacy sprytni, więc miło jest móc „odłożyć” Wielki Pomysł na etap, na którym bardziej oczywiste jest, co robić. Nie wiedząc od czego zacząć, wydaje się, że istnieje wiele wskazówek, że symetria może być naprawdę ważna (dodawanie jest symetryczne i mamy pewne podsumowania, a zmienne iid mają takie same oczekiwania, więc może można je zamienić lub zmienić ich nazwy w użyteczny sposób). W rzeczywistości „twardym” fragmentem tego pytania jest sposób radzenia sobie z podziałem, operacją, która nie jest symetryczna. Jak możemy wykorzystać symetrię sumowania? Z liniowości oczekiwań mamy: $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Ale z uwagi na symetrię, biorąc pod uwagę, że to iid i , wszystkie warunki po prawej stronie są takie same! Dlaczego? Zamień etykiety i na . Dwa terminy w pozycji przełącznika mianownika, ale po zmianie kolejności nadal do , podczas gdy licznik zmienia się z na . Więc . Napiszmy dla a ponieważ istnieje takich terminów, mamy . $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Wygląda na to, że co dałoby poprawny wynik. Ale jak to udowodnić? Wiemy $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Dopiero na tym etapie dotarło do mnie, że powinienem je dodać, aby uzyskać

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Zaletą tej metody jest to, że zachowuje jedność dwóch części pytania. Przyczyną złamania symetrii, wymagającą korekty, gdy , jest to, że warunki po prawej stronie po zastosowaniu liniowości oczekiwań będą dwojakiego rodzaju, w zależności od tego, czy w liczniku leży w sumie w mianowniku. (Tak jak poprzednio, mogę zmienić etykiety i jeśli oba pojawiają się w mianowniku, ponieważ to po prostu zmienia kolejność , lub jeśli nie robi tego, ponieważ wyraźnie pozostawia to niezmienioną sumę, ale jeśli tak, a jeden nie, to jeden warunków w mianowniku zmienia się i nie sumuje się już z .) Dla mamy $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ a dla mamy , powiedzmy. Ponieważ mamy pierwszych terminów i tych drugich, $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Zatem znalezienie jest proste przy użyciu niezależności i dla : $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Tak więc ta sama „sztuczka” działa dla obu części, polega tylko na rozpatrzeniu dwóch przypadków, jeśli . Podejrzewam, że właśnie dlatego dwie części pytania zostały podane w tej kolejności. $m>n$

— Silverfish
źródło

Bardzo ładna prezentacja twoich myśli pracujących nad pytaniem, a ty wyraźnie zaznaczasz krok nk (moja odpowiedź brzmi po prostu „wyraźnie równa”). Twoje zdrowie!

— Spy_Lord

Dzięki whuber za podpowiedź do pierwszej części.

Rozważmy dla przypadku $nS_m/S_n$ $m<=n$

Mamy $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

a przez właściwość iid jest to równe:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Dlatego dla $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Władca Szpiega
źródło