Formuła prawdopodobieństwa dla rozkładu wielowymiarowego-bernoulli

13

Potrzebuję wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia w n-zmiennym rozkładzie Bernoulliego przy danych prawdopodobieństwa dla pojedynczego elementu i dla par elementów . Równoważnie mogę dać średnią i kowariancji . $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

Dowiedziałem się już, że istnieje wiele rozkładów posiadających właściwości, podobnie jak wiele rozkładów posiadających podaną średnią i kowariancję. Szukam kanonicznego na , podobnie jak Gaussian jest rozkładem kanonicznym dla oraz danej średniej i kowariancji. $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
źródło

11

Zmienna losowa przyjmująca wartości w jest dyskretną zmienną losową. Jego rozkład jest w pełni opisany prawdopodobieństwami z . Podane prawdopodobieństwa i są sumami dla niektórych indeksów . $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

Teraz wydaje się, że chcesz opisać , używając tylko i . Nie jest to możliwe bez przyjęcia pewnych właściwości na . Aby zobaczyć, które próbują czerpać charakterystycznej funkcji z . Jeśli weźmiemy , otrzymamy $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$ Nie można zmienić kolejności tego wyrażenia, aby zniknął. Dla losowej zmiennej gaussowskiej funkcja charakterystyczna zależy tylko od parametrów średniej i kowariancji. Funkcje charakterystyczne jednoznacznie definiują rozkłady, dlatego Gaussa można opisać w unikalny sposób, stosując jedynie średnią i kowariancję. Jak widzimy dla losowej zmiennej tak nie jest.

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$

X

$X$

— mpiktas
źródło

10

Zobacz następujący artykuł:

JL Teugels, Niektóre reprezentacje wielowymiarowych rozkładów Bernoulliego i dwumianowych , Journal of Multivariate Analysis , obj. 32, nr 2, luty 1990, 256–268.

Oto streszczenie:

Wersje wielowymiarowe, ale wektoryzowane dla rozkładów Bernoulliego i dwumianowych są tworzone przy użyciu koncepcji produktu Kroneckera z rachunku macierzowego. Wielowymiarowy rozkład Bernoulliego obejmuje sparametryzowany model, który stanowi alternatywę dla tradycyjnego modelu logarytmiczno-liniowego dla zmiennych binarnych.

— Hamed
źródło

2

Dziękuję za podzielenie się tym, Hamed. Witamy na naszej stronie!

— whuber

1

Nie wiem, jak nazywa się wynikowa dystrybucja, a nawet jeśli ma ona nazwę, ale uderza mnie oczywisty sposób na skonfigurowanie tego, aby pomyśleć o modelu, którego użyłbyś do modelowania 2 × 2 × 2 × … × 2 tabela z wykorzystaniem modelu logarytmiczno-liniowego (regresja Poissona). Jak wiadomo tylko interakcje pierwszego rzędu, naturalne jest założenie, że wszystkie interakcje wyższego rzędu są zerowe.

Używając notacji pytającego, daje to model:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— jeden przystanek
źródło

Ta formuła ma problemy z notacją: po lewej i po prawej są litery „ ”. Prawa strona w ogóle nie odwołuje się do indeksu dolnego . Co więcej, wciąż interpretując jako prawdopodobieństwa (jak w pierwotnym pytaniu), rhs wyraźnie jest dodatni, podczas gdy lhs nie może być dodatni.

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

— whuber

@whuber Całkiem słusznie! Trzymam się modelu, który przedstawiłem w pierwszym akapicie, ale moje równanie zostało spreparowane na kilka sposobów ... Pokazuje, że tak naprawdę nie używałem logarytmicznego modelowania tabel kontyngencji od czasu mojego magistra i nie Mam pod ręką notatki lub książki. Myślę jednak, że teraz to naprawiłem. Daj mi znać, jeśli się zgadzasz! Apele za opóźnienie. Czasami mój mózg po prostu nie robi algebry.

— onestop

1

Nie sądzę, że to działa. Załóżmy a . Jest to ważne, kombinacja prawdopodobieństw realizowanych podczas jest jednorodną zmienną losową i i wszystkie . Nadal powyższa formuła wynosiłaby 0 dla wszystkich zdarzeń. Wciąż dziękuję za pomoc!

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$