Czy dystrybucja ma nazwę?

Pewnego dnia natknąłem się na tę gęstość. Czy ktoś nadał temu imię?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Gęstość jest nieskończona u źródła, a także ma grube ogony. Widziałem go jako wcześniejszy rozkład w kontekście, w którym spodziewano się, że wiele obserwacji będzie małych, choć spodziewano się także dużych wartości.

distributions probability

— John D. Cook
źródło

z ciekawości przytoczyłeś źródło, z którego to pierwotnie widziałeś?

— JMS

JMS: „Estymator podkowy dla rzadkich sygnałów” Carvalho, Polsona i Scotta. Widziałem go jako przedruk, ale do tej pory mógł zostać opublikowany w Biometrice. Nie używają tego wcześniej, ale powyższa gęstość jest przybliżeniem specjalnego przypadku ich wcześniejszego.

— John D. Cook,

Zostało opublikowane: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— fabians

Który przypadek szczególny przybliżasz? Przeczytałem to, ale nie mogę tak naprawdę powiązać twojego wyrażenia z wyrażeniami podanymi w artykule ...?

— fabians

@ Fabians: Miałem na myśli przypadek sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 w Twierdzeniu 1. Mówi on, że gęstość podkowy jest ograniczona powyżej i poniżej przez wielokrotności log (1 + c / x ^ 2). Może więc rozkład, o którym wspomniałem powyżej, bardziej upraszcza gęstość podkowy niż przybliżenie.

— John D. Cook

Odpowiedzi:

Rzeczywiście, nawet pierwszy moment nie istnieje. CDF tej dystrybucji podaje

fa (x) = 1 / 2) + (\arctan (x) - x \log (grzech (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

dla i symetrycznie dla . Ani to, ani żadna z oczywistych przemian nie wyglądają mi znajomo. (Fakt, że możemy uzyskać zamkniętą formę dla CDF pod względem funkcji elementarnych już poważnie ogranicza możliwości, ale nieco niejasny i skomplikowany charakter tej zamkniętej formy szybko wyklucza standardowe rozkłady lub transformacje mocy / log / wykładnicze / wyzwalanie Arktangens to oczywiście CDF rozkładu Cauchy'ego (Student ), pokazujący ten CDF jako (zasadniczo) zaburzoną wersję rozkładu Cauchy'ego, pokazaną jako czerwone kreski.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Whuber
źródło

@ Whuber, zwróć uwagę, że , co odnosi się do formatu pliku cdf bliższego do formatu pdf . Warto również zauważyć, że ten pdf jest asymptotyczny w stosunku do połowy standardowego pliku Cauchy. Tak więc głównym powodem jego użycia wydaje się być jego zachowanie w okolicach 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— kardynał

@ Whuber, choć myślę, że rozumiem, skąd pochodzisz, jeśli chodzi o twoje oświadczenie o zamkniętych formularzach cdfs (wskazówka: Louiville), zaleciłbym ostrożność przy tej uwadze. Sam rozkład Cauchy'ego jest pod tym względem „kontrprzykładem”.

— kardynał

@cardinal Nie rozumiem sensu twojej uwagi na temat dystrybucji Cauchy'ego. Używam jedynie formy CDF jako heurystyki dla zawężania wyszukiwania i jako celu wyszukiwania. CDF jest nieco wygodniejszy niż PDF, ponieważ łatwiej jest zobaczyć, jak się zmieni po transformacji zmiennej. I tak, relacja, którą zauważyłeś, jest jasna, ale zdecydowałem się napisać CDF w tej formie ze względu na obecność arcus tangensu w innym znaczeniu (co sugeruje podstawienie x = tan (u)).

— whuber

@ whuber, być może lepiej byłoby poprosić o wyjaśnienia niż zakładać. Jaki był twój punkt widzenia na twój komentarz, że zamknięty formularz cdf poważnie ogranicza możliwości?

— kardynał

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

Może nie.

Nie mogłem tego znaleźć na tej dość obszernej liście dystrybucji:

Leemis i McQuestion 2008 Univariate Distribution Relations. American Statistician 62 (1) 45:53

— Abe
źródło