Kiedy funkcja rozkładu dwumianowego jest powyżej / poniżej ograniczającej funkcji rozkładu Poissona?

Niech oznacza dwumianową funkcję rozkładu (DF) o parametrach i obliczonych przy : i niech oznacza Poissona DF z parametrem obliczonym dla : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Rozważmy i niech będzie zdefiniowane jako , gdzie jest stałą rzędu . Ponieważ , funkcja zbieżna z dla wszystkich , co jest dobrze znane. $p \rightarrow 0$ $n$ $\lceil a/p-d \rceil$ $d$ $1$ $np \rightarrow a$ $B(n,p,r)$ $F(a,r)$ $r$

Z powyższą definicją dla , jestem zainteresowany określeniem wartości dla którego i podobnie te, dla których I był w stanie wykazać, że pierwszy nierówność na dostatecznie mniejsza niż ; Dokładniej, na niższa od pewnej związanego , z . Podobnie, druga nierówność za dostatecznie większej niż , czyli dla $n$ $a$

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$

a

$a$

r

$r$

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ większa niż pewna związana

h (r)

$h(r)$ , przy

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Do wyrażenia granicach

g (r)

$g(r)$ i

h (r)

$h(r)$ są nieistotne tutaj. Będę podać szczegóły, aby każdy zainteresowany.) Jednakże, wyniki liczbowe wskazują, że te nierówności przytrzymać przez mniej rygorystycznych granic, czyli dla bliżej

niż mogę udowodnić.

a

$a$

r

$r$

Chciałbym więc wiedzieć, czy istnieje jakieś twierdzenie lub wynik, które określają, w jakich warunkach utrzymuje się każda nierówność (dla wszystkich $p$ ); to znaczy, gdy dwumianowy DF jest gwarantowany powyżej / poniżej ograniczającego Poissona DF. Jeśli takie twierdzenie nie istnieje, każdy pomysł lub wskaźnik we właściwym kierunku byłby mile widziany.

Należy pamiętać, że podobne pytanie, sformułowane jako niepełne funkcje beta i gamma, zostało opublikowane na stronie math.stackexchange.com, ale nie otrzymano odpowiedzi.

— Luis Mendo
źródło

To interesujące pytanie, choć myślę, że pomogłoby to wyjaśnić kilka rzeczy, szczególnie te, które są „częściami ruchomymi”, a które nie. Wygląda na to, że potrzebujesz granicy, która trzyma się równomiernie w dla każdego ustalonego . Ale jaka jest tutaj rola ? Nie powinno to mieć większego znaczenia, ale czy wprowadzenie jest konieczne? Jednym z podejść może być spojrzenie na rzeczy w kategoriach czasów oczekiwania procesu Poissona i powiązanie ich z powiązanymi geometrycznymi czasami oczekiwania (poprzez ustalenie górnego pułapu każdego) dla dwumianowej zmiennej losowej. Ale to może nie dać jednolitej granicy, której szukasz.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— kardynał

@cardinal Dziękujemy za poświęcenie czasu. Tak, chcę, aby granica była jednolita w p. Wszystkie pozostałe parametry są stałe (ale do wyboru). jest tylko jednym z takich bezpłatnych parametrów. Na przykład jeden hipotetyczny wynik może wyglądać następująco: „Dla każdego naturalnego większego niż i dowolnego pierwsza nierówność obowiązuje dla wszystkich i dla wszystkich ; a drugi dotyczy wszystkich i wszystkich .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

Istnieje teoria steina chen, która szacuje błędy, gdy używasz poissona rv do oszacowania sumy niepotrzebnych niezależnych zmiennych bernoulli. Nie jestem pewien co do twojego pytania.

— Lost1

Dla skończonego rozkład dwumianowy ma zamknięte wsparcie z góry. Jego rozmiar można wybrać (wybierając ), ale jest on zamknięty. Z drugiej strony dystrybucja Poissona ma nieograniczone wsparcie. Ponieważ patrzymy na CDF, dla każdego skończonego zawsze będziemy mieć dla dowolnych dopuszczalnych wartości . Tak więc warunki dla drugiej nierówności, jakiej wymaga OP, zawsze będą obejmować co najmniej „dla ...”

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos

Zobacz odpowiedź Did tutaj: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.,

W odniesieniu do następujących kwestii:

$np$
$np(1-p)$
$\lambda$ $n\times p$
wariancja Poissona jest taka sama jak średnia

$n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
źródło

Dziękuję za twój wkład. Wydaje mi się jednak, że nie rozwiązuje tego pytania, ponieważ (1) OP jest zainteresowany CDF, a nie PDF. (2) Prosi o odpowiedź ilościową.

— whuber