Wykładnicza ruchoma skośność / kurtoza

Istnieją dobrze znane wzory online do obliczania wykładniczo ważonych średnich kroczących i standardowych odchyleń procesu $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ . Dla średniej

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

i dla wariancji

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

z którego można obliczyć odchylenie standardowe.

Czy istnieją podobne wzory do obliczania on-line ważonych wykładniczo momentów trzeciego i czwartego środkowego momentu? Moją intuicją jest to, że powinny one przybrać formę

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

i

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

z którego można było obliczyć skośność i kurtozę k n = M 4 , n / σ 4 n, ale nie byłem w stanie znaleźć prostego wyrażenia o zamkniętej formie dla funkcji f i g .$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

Edycja: Więcej informacji. Aktualizacja formuły dla wariancji ruchomej jest szczególnym przypadkiem formuły kowariancji ruchomej ważonej wykładniczo, którą można obliczyć za pomocą

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

gdzie i ˉ y n są wykładniczymi ruchomymi środkami x i y . Asymetria pomiędzy X i Y jest iluzoryczne i znika, gdy zauważy że Y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( Y - ˉ y n - 1$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$ .

Takie wzory można obliczyć, pisząc moment centralny jako oczekiwanie , gdzie wagi w oczekiwaniu są rozumiane jako wykładnicze i wykorzystując fakt, że dla dowolnej funkcji f ( x ) mamy$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

Łatwo jest wyprowadzić formuły aktualizujące średnią i wariancję za pomocą tej relacji, ale okazuje się, że jest trudniejsza w trzecim i czwartym centralnym momencie.

Formuły są proste, ale nie są tak proste, jak sugerowano w pytaniu.

Niech być poprzedniego EWMA i niech x = x n , co może mieć niezależne od Y . Z definicji nowa średnia ważona to Z = α X + ( 1 - α ) Y dla stałej wartości α . Dla wygody notacji ustaw β = 1 - α . Niech F oznacza CDF zmiennej losowej, a ϕ oznacza jej funkcję generowania momentu , tak że$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

W przypadku Kendall i Stuart niech oznacza niecentralny moment rzędukdla zmiennej losowejZ; to znaczy$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$ . Asymetrii i kurtozy to wyrazić w kategoriach dlak=1,2,3,4; Na przykład, współczynnik asymetrii jest zdefiniowana jakoμ3/μ 3 /$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$ gdzie$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

są odpowiednio trzecim i drugim centralnym momentem.

Według standardowych wyników elementarnych

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in $t$ and equate the result term-by-term with the terms in $\phi_Z(t)$.

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...