Autowowariancja procesu ARMA (2,1) - wyprowadzenie modelu analitycznego dla

Muszę wyprowadzić wyrażenia analityczne dla funkcji autokowariancji procesu ARMA (2,1) oznaczonej przez:$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

Więc wiem, że:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

więc mogę napisać:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

następnie, aby uzyskać analityczną wersję funkcji autokowariancji, muszę zastąpić wartości - 0, 1, 2 ... dopóki nie otrzymam rekurencji, która jest ważna dla wszystkich większych niż jakaś liczba całkowita.$k$$k$

Dlatego podstawiam i pracuję przez to, aby uzyskać:$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

teraz mogę uprościć pierwsze dwa z tych terminów, a następnie zastąpić jak poprzednio:$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

następnie mnożę osiem terminów, którymi są:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Pozostaję więc zmuszony rozwiązać cztery pozostałe warunki. Chcę użyć tej samej logiki dla linii 1, 2, 5 i 6, jak użyłem dla linii 4 i 7 - na przykład dla linii 1:

E [ ϵ t - 1 ] = $\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ ponieważ .$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

Podobnie dla linii 2, 5 i 6. Ale mam rozwiązanie modelowe, które sugeruje, że wyrażenie dla upraszcza:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

Sugeruje to, że moje uproszczenie, jak opisano powyżej, termin o współczynniku - który według mojej logiki powinien wynosić 0. Czy moja logika jest winna, czy też rozwiązanie modelowe, które znalazłem nieprawidłowe?$\phi_1$

Sprawdzone rozwiązanie sugeruje również, że „analogicznie” można znaleźć jako:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

i dla :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

Mam nadzieję, że pytanie jest jasne. Każda pomoc będzie mile widziana. Z góry dziękuję.

To pytanie dotyczy moich badań i nie jest w przygotowaniu do żadnego egzaminu ani zajęć.

Jeśli proces ARMA jest przyczynowy, istnieje ogólna formuła, która zapewnia współczynniki autokowariancji.

Rozważmy przyczynowy Sposób gdzie jest białym szumem ze średnią wartością zero i wariancją . We właściwości przyczynowości proces można zapisać jako gdzie oznacza .y t = p ∑ i = 1 ϕ i y t $\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

Ogólne równanie jednorodne dla współczynników autokowariancji procesu przyczynowego to z warunkami początkowymi $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Twój błąd obliczeniowy w twoim pierwotnym pytaniu leży

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

Nie można oddzielić oczekiwania - i nie są niezależne. ϵ t - $\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

DOBRZE. Tak więc proces pisania postu faktycznie wskazał mi rozwiązanie.

Rozważ warunki Oczekiwania 1, 2, 5 i 6 z góry, które moim zdaniem powinny wynosić 0.

Natychmiast dla terminów 5 - - i 6 - : te warunki są zdecydowanie zero, ponieważ i są niezależne od i .$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

Jednak terminy 1 i 2 wyglądają tak, jakby oczekiwanie dotyczyło dwóch zmiennych skorelowanych. Rozważmy więc wyrażenia dla i :$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

I przypomnijmy sobie termin 1 - . Jeśli pomnożymy obie strony wyrażenia dla przez a następnie weźmy Oczekiwania, jasne jest, że wszystkie wyrażenia po prawej stronie oprócz ostatniego stają się zerowe (ponieważ wartości , i są niezależne od i ), aby dać:$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Tak więc termin 1 staje się . W przypadku terminu 2 powinno być jasne, że zgodnie z tą samą logiką wszystkie warunki są zerowe.$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

Dlatego oryginalna odpowiedź modelu była poprawna.

Jeśli jednak ktoś może zasugerować alternatywny sposób na uzyskanie ogólnego (nawet bałaganiarskiego) rozwiązania, byłbym bardzo zadowolony z jego usłyszenia!