Wyodrębnić punkty danych z ruchomej średniej?

Czy można wyodrębnić punkty danych z ruchomych danych średnich?

Innymi słowy, jeśli zestaw danych zawiera tylko proste średnie ruchome z poprzednich 30 punktów, czy można wyodrębnić oryginalne punkty danych?

Jeśli tak to jak?

+1 do odpowiedzi fabee, która jest kompletna. Tylko uwaga, aby przetłumaczyć go na język R, w oparciu o pakiety, które znalazłem do wykonania dostępnych operacji. W moim przypadku miałem dane, które są prognozami temperatury NOAA na trzy miesiące: styczeń-luty-marzec, luty-marzec-kwiecień, marzec-kwiecień-maj itd. I chciałem je rozbić na (przybliżone) wartości miesięczne, przy założeniu, że temperatura każdego trzymiesięcznego okresu jest zasadniczo średnią.

library (Matrix)
library (matrixcalc)

# Feb-Mar-Apr through Nov-Dec-Jan temperature forecasts:

qtemps <- c(46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2)

# Thus I need a 10x12 matrix, which is a band matrix but with the first
# and last rows removed so that each row contains 3 1's, for three months.
# Yeah, the as.matrix and all is a bit obfuscated, but the results of
# band are not what svd.inverse wants.

a <- as.matrix (band (matrix (1, nrow=12, ncol=12), -1, 1)[-c(1, 12),])
ai <- svd.inverse (a)

mtemps <- t(qtemps) %*% t(ai) * 3

Który działa dla mnie świetnie. Dzięki @fabee.

EDYCJA: OK, tłumacząc wstecz moje R na Python, otrzymuję:

from numpy import *
from numpy.linalg import *

qtemps = transpose ([[46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2]])

a = tril (ones ((12, 12)), 2) - tril (ones ((12, 12)), -1)
a = a[0:10,:]

ai = pinv (a)

mtemps = dot (ai, qtemps) * 3

(Debugowanie trwało dłużej niż wersja R. Po pierwsze dlatego, że nie znam tak dobrze Pythona jak z R, ale także dlatego, że R jest znacznie bardziej użyteczny interaktywnie.)

$\mathbf x$$n=2000$$\ell=30$$\mathbf y = A\mathbf x$$\mathbf x$

$30$$30$$\mathbf y$$1970$$2000$

$x_1,...,x_{2000}$$y_1$$y_2$

$x_1,...,x_n$$\mathbf x$$\mathbf y$$\mathbf x$

$A$$30$$30$$A$$A$

$A^\dagger$$A$$\mathbf z = A^\dagger\mathbf y$$\mathbf x$$\mathbf y$$A\mathbf z$

$2000$$\mathbf x$

Wiele programów numerycznych oferuje pseudo-inwersje (np. Matlab, numpy w python itp.).

Oto kod python do generowania sygnałów z mojego przykładu:

from numpy import *
from numpy.linalg import *
from matplotlib.pyplot import *
# get A and its inverse     
A = (tril(ones((2000,2000)),-1) - tril(ones((2000,2000)),-31))/30.
A = A[30:,:]
pA = pinv(A) #pseudo inverse

# get x
x = random.randn(2000) + 5
y = dot(A,x)

# reconstruct
x2 = dot(pA,y)

plot(x,label='original x')
plot(y,label='averaged x')
plot(x2,label='reconstructed x')
legend()
show()

Mam nadzieję, że to pomaga.