Proces AR (1) z heteroscedastycznymi błędami pomiaru

1. Problem

Mam pomiarów zmiennej , gdzie t = 1 , 2 , . . , N , na które mają rozkład f a t ( R t ) uzyskanej poprzez MCMC, który dla uproszczenia będzie zakładać, że jest to Gaussa o średniej μ T a zmienność σ 2 t .$y_t$$t=1,2,..,n$$f_{y_t}(y_t)$$\mu_t$$\sigma_t^2$

Mam model fizyczny dla tych obserwacji, powiedzmy , ale reszty r t = μ t - g ( t ) wydają się być skorelowane; w szczególności mam fizyczne powody, by sądzić, że proces A R ( 1 ) wystarczy, aby uwzględnić korelację, i planuję uzyskać współczynniki dopasowania za pośrednictwem MCMC, dla których potrzebuję prawdopodobieństwa . Myślę, że rozwiązanie jest raczej proste, ale nie jestem całkiem pewien (wydaje się tak proste, że myślę, że czegoś mi brakuje).$g(t)$$r_t = \mu_t-g(t)$$AR(1)$

2. Wyprowadzenie prawdopodobieństwa

Zerowy proces można zapisać jako: X t = ϕ X t - 1 + ε t , ( 1 ) gdzie przyjmę ε t ∼ N ( 0 , σ 2 w ) . Parametry do oszacowania to zatem θ = { ϕ , σ 2 w } (w moim przypadku muszę również dodać parametry modelu g ( t $AR(1)$

$$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$$ $\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$$g(t)$, ale to nie jest problem). Obserwuję jednak zmienną której zakładam, że η t ∼ N ( 0 , σ 2 t ) , a σ 2 t są znane (błędy pomiaru) . Ze względu X t jest Gaussa proces R t jest. W szczególności wiem, że X 1 ∼ N ( 0 , σ 2 w $$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$$ $\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$$\sigma_t^2$$X_t$$R_t$ zatem R 1 ∼ N ( 0 , σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t ) . Kolejnym wyzwaniem jest uzyskanie R t | R t - 1 dla t ≠ 1 . Aby uzyskać rozkład tej zmiennej losowej, zwróć uwagę, że za pomocą eq. ( 2 ) można zapisać X $$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$$ $$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$$ $R_t|R_{t-1}$$t\neq 1$$(2)$ Korzystanie z ekw. (2)i przy użyciu definicji równania. (1), umiem pisać, R t = X t + η t =ϕ X t - 1 + ε t + η t . Korzystanie z ekw. (3)w tym ostatnim ekspresji, a następnie, to uzyskać, R $$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$$ $(2)$$(1)$ $$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$$ $(3)$ zatem R t | R t - 1 = ϕ ( r t - 1 - η t - 1 ) + ε t + η t , a zatem R t | R t - 1 ∼ N $$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ $$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ Wreszcie, można zapisać jako funkcję prawdopodobieństwa L ( θ ) = f R 1 ( R 1 = R 1 ) n Π t = 2 m R t | R t - 1 ( R t = r $$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$$ gdzie f ( ⋅ ) to rozkłady zmiennych, które właśnie zdefiniowałem, .ie, definiując σ ′ 2 = σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t , f R 1 ( R 1 = r 1 ) = $$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$$ $f(\cdot)$$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$ oraz określenieσ2(t)=σ 2 wagowo +σ 2 t -cp2Ď 2 t - 1 , MRt| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)= $$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$$ $\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ $$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$$

3. Pytania

1. Czy moje pochodzenie jest w porządku? Nie mam żadnych zasobów do porównania poza symulacjami (które wydają się zgadzać) i nie jestem statystykiem!
2. $MA(1)$$ARMA(1,1)$$ARMA(p,q)$

1. $R_t$$R_{t-1}$$\phi r_{t-1}$$\phi \widehat{x}_{t-1}$$\widehat{x}_{t-1}$$X$$\widehat{x}_{t-1}$$r_{t-1}$$\sigma_w$$\phi$$X$$\sigma_{\eta}$$R$$X$

2. $\sigma_{\eta}$$Z=1$$d=c=0$$H_t = \sigma_{\eta,t}^2$$T=\phi$$R=1$$Q=\sigma^2_w$

Szczerze mówiąc, powinieneś zakodować to w BŁĘDACH lub STAN i nie martw się o to stamtąd. Chyba że jest to pytanie teoretyczne.