suma niecentralnych zmiennych losowych chi-kwadrat

21

Muszę znaleźć rozkład zmiennej losowej

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ gdzie

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ i wszystkie

X_{i}

$X_i$ są niezależne. Wiem, że można najpierw znaleźć iloczyn wszystkich funkcji generujących momenty dla

X_{i}

$X_i$ , a następnie przekształcić je z powrotem, aby uzyskać rozkład

Y

$Y$ Zastanawiam się jednak, czy istnieje ogólna forma dla

Y

$Y$ podobnie jak przypadek Gaussa: wiemy, że suma niezależnego Gaussa wciąż jest gaussowskim, dlatego musimy znać tylko zsumowaną średnią i zsumowaną wariancję.

Co powiesz na wszystkie ? Czy ten warunek stanowi ogólne rozwiązanie? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— pułapka
źródło

1

Patrząc na pierwszym akapicie pod tutaj wyraźnie końcowy stan daje skalowany noncentral chi-kwadrat (dzielenie przez przez

(współczynnik skali wykupić przodu) i dokonać

w

). Bardziej ogólna forma, którą zacząłeś, wygląda jak kombinacja liniowa lub średnia ważona ze skalowaniem, ze współczynnikami

zamiast zwykłej sumy skalowanych kwadratów ... i wierzę, że ogólnie nie będzie miał wymaganego rozkładu.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b - Przywróć Monikę

W zależności od tego, do czego jest to potrzebne, w określonych przypadkach może być możliwe wykonanie splotu numerycznego lub symulacji.

— Glen_b

Uogólnia się to poprzez rozkład „ważonej sumy log chi-kwadratów do mocy”. Mój pakiet R sadistszapewnia przybliżone funkcje „dpqr” dla

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Jak zauważył Glen_b w komentarzach, jeśli wszystkie wariancje są takie same, otrzymamy skalowane niecentralne chi-kwadrat.

Jeśli nie, to pojęcie uogólnionego rozkładu chi-kwadrat , czyli dla i stałe. W tym przypadku, masz szczególny przypadek przekątnej ( ) oraz . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Było trochę pracy nad obliczeniem rzeczy w tej dystrybucji:

Imhof (1961) i Davies (1980) numerycznie odwracają funkcję charakterystyczną.
Sheil i O'Muircheartaigh (1977) piszą rozkład jako nieskończoną sumę centralnych zmiennych chi-kwadrat.
Kuonen (1999) podaje przybliżone przybliżenie pliku pdf / cdf.
Liu, Tang i Zhang (2009) aproksymują go niecentralnym rozkładem chi-kwadrat opartym na dopasowaniu skumulowanym.

Możesz także zapisać go jako liniową kombinację niezależnych niecentralnych zmiennych chi-kwadrat , w którym to przypadku: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez i López-Blázquez (2005) przedstawiają rozszerzenie Laguerre dla pdf / cdf.

Bausch (2013) podaje bardziej wydajny obliczeniowo algorytm dla liniowej kombinacji centralnych chi-kwadratów; jego prace mogą być rozszerzane na niecentralne chi-kwadraty, a niektóre interesujące wskazówki można znaleźć w powiązanej sekcji pracy.

— Dougal
źródło

2

Porównanie metod aproksymacyjnych znajduje się w Duchesne i in. 2010. Statystyka obliczeniowa i analiza danych, 54, 858–862. Autorzy utrzymują pakiet R CompQuadForm z implementacjami.

— caracal

-10

Będzie to chi-kwadrat o stopniu swobody.

— Ahmed
źródło

6

Myślę, że przeoczyłeś, że

może być niezerowe. Komentarze do pytania oraz istniejąca odpowiedź mają charakter informacyjny.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber