Definicja prawdopodobieństwa warunkowego z wieloma warunkami

Powiedzmy, że mam dwa zdarzenia, A i B, i niektóre parametry dystrybucji , i chciałbym spojrzeć na P ( A | B , θ ) .$\theta$$P(A | B,\theta)$

Zatem najprostsza definicja prawdopodobieństwa warunkowego to, biorąc pod uwagę niektóre zdarzenia A i B, następnie . Więc jeśli istnieje wiele zdarzeń warunkujących, tak jak mam powyżej, czy mogę powiedzieć, żeP(A|B,θ) ? = P((A|θ)∩(B|θ)$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ czy patrzę na to całkowicie niewłaściwie? Mam tendencję do wyprowadzania się z równowagi, kiedy czasami mam do czynienia z prawdopodobieństwem, nie jestem do końca pewien, dlaczego.$P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$

Możesz zrobić małą sztuczkę. Niech . Teraz możesz pisać$(B \cap \theta) = C$

Problem sprowadza się do prawdopodobieństwa warunkowego z tylko jednym warunkiem: P ( A | C ) = P ( A ∩ C

$$P(A|B, \theta) = P(A|C).$$ $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$

$(B \cap \theta)$$C$

$$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$$

I to jest wynik, który chciałeś osiągnąć. Napiszmy to dokładnie w takiej formie, w jakiej pierwotnie zadałeś pytanie:

$$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$$

Co do twojego drugiego pytania, dlaczego prawdopodobieństwo to Cię przeraża: jednym z ustaleń z badań psychologicznych jest to, że ludzie nie są zbyt dobrzy w rozumowaniu probabilistycznym ;-). Trudno mi było znaleźć referencję, na którą mogę cię wskazać. Ale praca Daniela Kahnemana jest z pewnością bardzo ważna w tym względzie.

Myślę, że prawdopodobnie tego chcesz:

$$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$$

Często myślę o tym, jak manipulować prawdopodobieństwami. Przy wielu warunkach uważam, że najłatwiej jest o tym pomyśleć w ten sposób:

• $\rm{P}(A|B)$$\theta$
• $\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
• $\theta$$\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$