Odpowiedzi:
Bardziej konwencjonalną notacją jest
Można to znaleźć, różnicując całkę względem i σ , tworząc całki elementarne, które można wyrazić w postaci zamkniętej:
System ten może być włączone, począwszy od stanu początkowego = ∫ cp ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , w celu uzyskania danego rozwiązania (która jest łatwo sprawdzić różnicowania).
Niech i Y będą niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi z X ∼ N ( a , b 2 ), a Y standardową normalną zmienną losową. Następnie P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aTak więc, stosując prawo całkowitego prawdopodobieństwa, otrzymujemy, że P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y∣Y=w}ϕ(w)
Oto inne rozwiązanie: definiujemy
co implikuje