Hipoteza zerowa równoważności

Załóżmy że są prostą losową próbką z rozkładu Normal . $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Jestem zainteresowany przeprowadzeniem następującego testu hipotez: dla danej stałej .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Myślałem o przeprowadzeniu dwóch jednostronnych testów (TOST) w analogiczny sposób, jak w zwykłej sytuacji testowania równoważności biologicznej, gdzie zero jest , ale nie wiem, czy to ma sens, czy jest poprawne. $t$ $|\mu| \ge c$

Moim pomysłem jest wykonanie testów jednostronnych oraz i odrzuć globalną hipotezę zerową, jeśli jedna z wartości jest mniejsza niż poziom istotności

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$ .

Z góry dziękuję!

EDYTOWAĆ:

Zastanawiałem się przez chwilę i myślę, że zaproponowane przeze mnie podejście nie ma poziomu istotności $\alpha$ .

Załóżmy, że prawdziwa wartość $\mu$ wynosi $\mu_0$ i że $\sigma^2$ jest znane.

Prawdopodobieństwo odrzucenia wartości zerowej w pierwszym teście wynosi gdziejeśli standardowe cdf rozkładu normalnego, ajest wartością taką, że.

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Jeżeli , . Następnie, jeśli , . Alternatywnie, jeżeli , . $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

Prawdopodobieństwo odrzucenia wartości zerowej w drugim teście wynosi

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

Ponownie, jeśli mamy . Podobnie, jeśli , . Wreszcie, jeśli , $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ . $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Ponieważ regiony odrzucenia dwóch testów są rozłączne, prawdopodobieństwo odrzucenia wynosi: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

Zatem jeśli , jest górną granicą prawdopodobieństwa odrzucenia (globalnej) hipotezy zerowej. Dlatego zaproponowane przeze mnie podejście było zbyt liberalne. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

Jeśli się nie mylę, możemy osiągnąć poziom istotności , wykonując te same dwa testy i odrzucając wartość zerową, jeśli wartość jednego z nich jest mniejsza niż . Podobny argument obowiązuje, gdy wariancja jest nieznana i musimy zastosować test . $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
źródło

Edycja jest na dobrej drodze :-).

— whuber

Bardzo interesujące pytanie !!

Używasz logicznej konsekwencji, tj. Warunku uwarunkowania. Ten warunek uwarunkowania stanowi podstawę logiki klasycznej, gwarantuje wnioskowanie lub odjęcie wyniku z przesłanki.

Uzasadnienie tej propozycji jest następujące:

Jeśli pociąga za sobą , wówczas zaobserwowane dane powinny wyciągnąć więcej dowodów przeciwko niż . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

$H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

Jednak to logiczne rozumowanie nie dotyczy wartości p, tzn. Wartości p nie uwzględniają logicznej konsekwencji. Każda wartość p jest budowana na podstawie określonej hipotezy zerowej, dlatego wartości p dla różnych hipotez zerowych są obliczane na podstawie różnych miar. Z tego powodu wartości p nie mogą być zgodne z logicznym rozumowaniem w przestrzeni parametrów (lub przestrzeni hipotez zerowych).

$n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) proponuje nową miarę dowodów w celu przetestowania ogólnych hipotez zerowych (złożonych lub prostych hipotez zerowych), które uwzględniają logiczną konsekwencję. Ta miara nazywa się w artykule wartością s. Procedura jest stosunkowo prosta dla twojego przykładu:

$\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
$\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
$\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$ -wartość jest wystarczająco mała, aby można było odrzucić null. W przeciwnym razie nie należy odrzucać ani akceptować wartości zerowej.

$\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ . Spróbuj narysować obraz przedstawiający przedział ufności i zerową hipotezę zainteresowania, aby lepiej zrozumieć wnioski. Więcej informacji można znaleźć w oryginalnej pracy Patriota (2013).

$s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$

Bibliografia:

Patriota, AG (2013). Klasyczna miara dowodów dla ogólnych hipotez zerowych, Zestawy i systemy rozmyte, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Wartości P: Czym są, a czym nie są, The American Statistician, 50, 203–206.

— Alexandre Patriota
źródło