Czy lemat Neymana-Pearsona może mieć zastosowanie w przypadku, gdy prosty zerowy i alternatywny nie należą do tej samej rodziny dystrybucji?

Czy lemat Neymana-Pearsona może odnosić się do przypadku, gdy prosty zerowy i prosta alternatywa nie należą do tej samej rodziny dystrybucji? Z tego dowodu nie rozumiem, dlaczego nie może.

Na przykład, gdy prosty zerowy jest rozkładem normalnym, a prostą alternatywą jest rozkład wykładniczy.
Czy test współczynnika wiarygodności jest dobrym sposobem na przetestowanie złożonego null względem złożonej alternatywy, gdy obie należą do różnych rodzin rozkładów?

Dziękuję i pozdrawiam!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— Tim
źródło

To dobre pytanie.

— Glen_b

Jak mówisz w pytaniu, dowód nie przyjmuje żadnych założeń dotyczących postaci dwóch rozkładów. Zaufaj matematyce.

— Cyan

@Cyan: Czy test współczynnika wiarygodności jest dobrym sposobem dla złożonej wartości zerowej i złożonej alternatywy, które należą do różnych rodzin rozkładów?

— Tim

Aby wyjaśnić mój wcześniejszy komentarz: często widzę, jak ludzie mówią „nie” - w rzeczywistości wydaje się to nawet w artykułach : - „[Testy ilorazu wiarygodności] ... nie mogą być wykorzystywane do wnioskowania na temat funkcjonalnej formy dystrybucji danych. „ Byłoby miło, gdyby tego rodzaju twierdzenia nie były tak często pozostawione bez odpowiedzi.

— Glen_b

Jest to nie pytanie, ponieważ jakiekolwiek dwa różne rozkłady

są częścią ciągłego jednego parametru rodziny

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Odpowiedzi:

Tak, Neyman Pearson Lemma może mieć zastosowanie w przypadku, gdy prosta zerowa i prosta alternatywa nie należą do tej samej rodziny dystrybucji.

Chcemy skonstruować najsilniejszy (MP) test stosunku do jego wielkości. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Dla konkretnego , naszą krytyczną funkcją jest lemat Neymana Pearsona $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

Jest to test MP o przeciwko od jego wielkości. $H_0$ $H_1$

Tutaj

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

Zauważ, że Teraz, jeśli narysujesz obrazek[Nie wiem jak zbudować obraz w odpowiedzi], z wykresu będzie jasne, że

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

Tak więc dla konkretnego jest to test MP dla względem jego wielkości. $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

Możesz przetestować

1. przeciwko $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Przez lemat Neymana Pearsona.

$\mathbb{\theta}$

To wszystko ode mnie.

— OGŁOSZENIE
źródło

Q2 Wskaźnik prawdopodobieństwa jest dość rozsądną statystyką testową, ale (a) lemat Neymana-Pearsona nie stosuje się do złożonych hipotez, więc LRT niekoniecznie będzie najsilniejszy; & (b) Twierdzenie Wilksa dotyczy tylko hipotez zagnieżdżonych, więc jeśli jedna rodzina nie jest szczególnym przypadkiem drugiej (np. wykładniczy / Weibull, Poisson / ujemny dwumianowy), nie znasz rozkładu współczynnika prawdopodobieństwa poniżej wartości zerowej, nawet asymptotycznie.

— Scortchi - Przywróć Monikę
źródło

„... nie znasz rozkładu współczynnika prawdopodobieństwa poniżej zera, nawet asymptotycznie”. To nie jest tak duży problem w świecie, w którym można zakodować symulację pod zerą w mniej niż 20 liniach R.

— Cyan

@Cyan: Napisanie tych 20 wierszy może jednak wymagać przemyślenia. Pamiętaj, że jest to wartość zerowa złożona, na ogół nie będziemy mieć osi obrotowych i nie sądzę, aby LR była koniecznie przybliżoną osią obrotu.

— Podejrzewam,

Masz rację. Ogólny obraz wygląda następująco: chcemy statystyki testowej, która daje nam maksymalną moc na danym poziomie istotności $\alpha$ . Innymi słowy, sposób na obliczenie wartości $\phi$ tak aby punkty były częścią przestrzeni parametrów, dla której $\phi$ przekracza jego $\alpha^\mathrm{th}$ kwantyl poniżej $H_0$ mają najmniejszą możliwą wagę poniżej $H_1$ . Lemat Neymana-Pearsona pokazuje, że ta statystyka jest ilorazem prawdopodobieństwa.
Oryginalny artykuł Neymana i Pearsona omawia również złożone hipotezy. W niektórych przypadkach odpowiedź jest prosta - jeśli istnieje wybór poszczególnych rozkładów w każdej rodzinie, których współczynnik prawdopodobieństwa jest zachowawczy przy zastosowaniu całej rodziny. Tak się często dzieje na przykład w przypadku hipotez zagnieżdżonych. Łatwo się to jednak nie dzieje; ten artykuł Coxa omawia, co dalej robić. Wydaje mi się, że bardziej nowoczesnym podejściem byłoby podejście bayesowskie, poprzez nadanie priorytetu dwóm rodzinom.

— petrelharp
źródło

Świetne referencje - papier Coxa.

— Scortchi - Przywróć Monikę