Stosunek sumy Normalnej do sumy kostek Normalnej

12

Proszę o pomoc w znalezieniu rozkładu granicznego (jako $n \rightarrow \infty$ ):

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2)} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3)} + X_{2)}^{3)} + \dots X_{n}^{3)}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$ gdzie

X_{i}

$X_i$ oznaczają

N (0, 1)

$N(0,1)$ .

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
źródło

1

Próbowałeś już spojrzeć na transformacje zmiennych losowych? Na przykład można wypróbować charakterystyczne funkcje, transformaty Laplace'a-Stieltjesa itp.

— Stijn

1

Wskazówka: Licznik i mianownik są asymptotycznie dwuwymiarowe normalne. Możesz bezpośrednio obliczyć ich momenty: ich średnie są oczywiście zerowe, wariancja licznika wynosi

n

$n$ , wariancja mianownika wynosi

15 n

$15n$ , a kowariancja wynosi

3 n

$3n$ . (Zatem korelacja wynosi

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$ .) Aby znaleźć rozkład graniczny, należy wyrazić dowolną zerową średnią dwuwymiarową normalną

(U, V)

$(U,V)$ w postaci

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$ dla niezależnych zerowych średnich normalnych

A

$A$ i

B

$B$ i stałej

β

$\beta$ , a następnie zauważyć, że stosunek

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$ jest przesuniętym skalowanym rozkładem Cauchy'ego.

— whuber

2

Jeśli preparat był gdzieisą niezależne, byłoby to tylko klasyczne ćwiczenie z podręcznika. Korzystasz z faktu, że

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2)} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3)} + Y_{2)}^{3)} + \dots Y_{n}^{3)}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

i możemy wnioskować, żeasymptoty

do skalowanego rozkładu Cauchy'ego.

{fa}_{n} \overset{re}{\to} fa, {sol}_{n} \overset{re}{\to} sol \Rightarrow \frac{{fa}_{n}}{{sol}_{n}} \overset{re}{\to} \frac{fa}{sol}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Ale w twoim sformułowaniu nie możemy zastosować twierdzenia z powodu zależności. Mój Monte-Carlo sugeruje, że rozkład graniczny nie jest zdegenerowany i nie ma pierwszego momentu i nie jest symetryczny. Byłbym zainteresowany, czy istnieje wyraźne rozwiązanie tego problemu. Wydaje mi się, że rozwiązanie można napisać tylko pod względem procesu Wienera. $U_n$

[EDYCJA] Po wskazówkach Whubera, zwróć uwagę na to

gdzie, zwracając uwagę, żei. (momenty normalnej normy,

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{ja}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{ja}^{3)}) \overset{re}{\to} (Z_{1}, Z_{2)})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2)}) \sim N. (0, (\begin{matrix} 1 & 3) \\ 3) & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

dla parzystej

) Następnie przez ciągłe twierdzenie o odwzorowaniu mamy

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

Zwracając uwagę, że możemy napisać

U_{n} \overset{re}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2)}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

gdzie

i niezależnie od

, wnioskujemy, że

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

gdzie

U_{n} \overset{re}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2)}{5}} \frac{Z_{3)}}{Z_{2)}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2)}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Juliusz
źródło

0

$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Słyszałem, że stosunki lub odwrotności zmiennych losowych często są problematyczne, ponieważ nie mają oczekiwań. Dlaczego? ). Ale tutaj istnieje zależność między licznikiem a mianownikiem, co komplikuje sprawę ... (Najwyraźniej trzeba tutaj więcej przemyśleć).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
źródło