Łączenie dwóch macierzy kowariancji

Obliczam kowariancję rozkładu równolegle i muszę połączyć wyniki rozproszone w liczbie pojedynczej Gaussa. Jak połączyć te dwa elementy?

Interpolacja liniowa między tymi dwoma prawie działa, jeśli są one podobnie rozmieszczone i zwymiarowane.

Wikipedia zapewnia forumla na dole dla kombinacji, ale wydaje się to niewłaściwe; dwie identycznie rozmieszczone dystrybucje powinny mieć tę samą kowariancję, ale wzór na dole strony podwaja kowariancję.

Czy istnieje sposób na połączenie dwóch macierzy?

covariance moments

— Matt Kemp
źródło

Formuła Wikipedii odpowiada na twoje pytanie, Matt: być może nie zauważyłeś, że jest to formuła częściowa, w której następnie musisz podzielić przez wielkość próby.

— whuber

Zrozumiałem to teraz, z twoją pomocą - jeśli umieścisz to w odpowiedzi, zaznaczę to jako odpowiedź.

— Matt Kemp,

To pytanie pojawia się na wiele sposobów. To, co jest dla nich wspólne, to

Jak połączyć statystyki oparte na momentach, które zostały obliczone z rozłącznych podzbiorów moich danych?

Najprostsza aplikacja dotyczy danych, które zostały podzielone na dwie grupy. Wiesz rozmiary grupy i grupa oznacza. Jeśli chodzi o same te cztery wielkości, jaki jest ogólny średni poziom danych?

Inne aplikacje generalizują od średnich do odchyleń, odchyleń standardowych, macierzy kowariancji, krzywizny i statystyki wielowymiarowej; i może obejmować wiele podgrup danych. Zauważ, że wiele z tych wielkości jest nieco skomplikowanymi kombinacjami momentów: na przykład odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym kwadratowej kombinacji pierwszej i drugiej chwili (średnia i średnia kwadratowa).

$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$

μ_{k} (y) = (y_{1}^{k} + y_{2}^{k} + \dots + y_{j}^{k}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

$j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} n μ_{k} (X) & = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{j_{1}}^{k}) + \dots + (x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 1}^{k} + x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = j_{1} μ_{k} (X_{(1)}) + j_{2} μ_{k} (X_{(2)}) + \dots + j_{g} μ_{k} (X_{(g)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

$n$ $k$ $k$

$x$ $y$

((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

$g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$

$n-1$ $n$ $n-1$ $j_i-1$ $n$ $j_i$

$n$

— Whuber
źródło

Jestem trochę zdezorientowany definicją k-tego momentu. Czy zakładasz zero średnich danych?

— reschu

k^{th}

$k^\text{th}$

May Bad! Mieszałem momenty „centralny” i „surowy”. Dzięki za wyjaśnienie!

— reschu

Myślę, że „aby poznać średnie wielkości podgrup” w przedostatnim akapicie należy przeczytać „znać średnie podgrup” zamiast tego? (

— Waham się, czy sami

@Juho Masz całkowitą rację. Dziękujemy za zauważenie tego!

— whuber