Jak obliczyć oczekiwanie na ?

Jeśli jest wykładniczo rozłożone z parametrem i są wzajemnie niezależne, to czego oczekujemy $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

pod względem i i ewentualnie innych stałych? $n$ $\lambda$

Uwaga: to pytanie ma matematyczną odpowiedź na /math//q/12068/4051 . Czytelnicy też na to spojrzą.

expected-value exponential gamma-distribution

— Izaak
źródło

Dwie kopie tego pytania odnoszą się do siebie nawzajem i odpowiednio, strona statystyk (tutaj) ma odpowiedź statystyczną, a strona matematyki ma odpowiedź matematyczną. Wydaje się, że to dobry podział: niech się stanie!

— whuber

Odpowiedzi:

Jeśli , to (pod niezależnością), , więc jest rozproszone w gamma (patrz wikipedia ). Potrzebujemy tylko . Ponieważ , wiemy, że . Dlatego ( oczekiwanie i wariancja rozkładu gamma można znaleźć na Wikipedii ). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
źródło

Dzięki. Bardzo schludny sposób odpowiedzi na pytanie (prowadzący do tej samej odpowiedzi) został również podany na math.stackexchange (link powyżej w pytaniu) kilka minut temu.

— Wolfgang

Odpowiedź matematyczna oblicza całki przy użyciu liniowości oczekiwań. Pod pewnymi względami jest to prostsze. Ale podoba mi się twoje rozwiązanie, ponieważ wykorzystuje wiedzę statystyczną : ponieważ znasz sumę niezależnych zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma, gotowe.

— whuber

Bardzo mi się podobało i w żadnym wypadku nie jestem statystykiem ani matematykiem.

— Kortuk

bardzo elegancka odpowiedź.

— Cyrus S

@Dilip Matematyk uważa to pytanie za prośbę o całkę i przechodzi bezpośrednio do jej zintegrowania. Statystyk wyraża to ponownie w kategoriach znanych wielkości statystycznych, takich jak wariancja, i znanych zależności statystycznych, takich jak wykładnicza to Gamma, a rodzina Gamma jest zamknięta w trakcie splotu. Odpowiedzi są takie same, ale podejścia są zupełnie inne. Następnie pojawia się pytanie, co tak naprawdę oznacza „robienie integracji”. Na przykład ta skomplikowana całka jest wykonywana czysto algebraicznie.

— whuber

Powyższa odpowiedź jest bardzo ładna i całkowicie odpowiada na pytanie, ale zamiast tego przedstawię ogólną formułę oczekiwanego kwadratu sumy i zastosuję ją do konkretnego przykładu wymienionego tutaj.

Dla dowolnego zestawu stałych jest faktem $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

dotyczy to właściwości Distributionive i staje się jasne, gdy weźmiesz pod uwagę to, co robisz, obliczając ręcznie . $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Dlatego dla próbki zmiennych losowych , niezależnie od rozkładów, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

pod warunkiem, że te oczekiwania istnieją.

W przykładzie z problemu są zmiennymi losowymi iid , co mówi nam, że i dla każdego . Niezależnie, dla mamy $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

W sumie jest tych terminów. Kiedy , mamy $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

w sumie jest tych terminów. Dlatego przy użyciu powyższego wzoru $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

jest twoja odpowiedź.

— Makro
źródło

Problem ten jest tylko szczególnym przypadkiem znacznie bardziej ogólnego problemu „momentów momentów”, które są zwykle definiowane w kategoriach notacji sumy mocy. W szczególności w notacji sumy mocy:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Następnie, niezależnie od dystrybucji , oryginalny plakat szuka (pod warunkiem, że istnieją chwile). Ponieważ operator oczekiwań to dopiero pierwszy nieprzetworzony moment, rozwiązanie podano w oprogramowaniu mathStatica przez: $E[s_1^2]$

[„___ToRaw” oznacza, że chcemy, aby rozwiązanie zostało przedstawione w kategoriach nieprzetworzonych momentów populacji (zamiast powiedzieć momenty centralne lub kumulanty). ]

Na koniec, jeśli ~ wykładniczy ( ) z pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

następnie możemy zastąpić momenty w ogólnym rozwiązaniu rzeczywistymi wartościami wykładniczej zmiennej losowej, takimi jak: $\mu_i$ sol

Wszystko gotowe.

PS Powodem, dla którego inne zamieszczone tutaj rozwiązania dają odpowiedź z w mianowniku, a nie w liczniku, jest oczywiście to, że używają innej parametryzacji rozkładu wykładniczego. Ponieważ OP nie określił, której wersji używa, postanowiłem użyć standardowej definicji podręcznika teorii dystrybucji Johnson Kotz i in.… Tylko po to, żeby to zrównoważyć :) $\lambda^2$

— wilki
źródło