Jak znaleźć wariancję między punktami wielowymiarowymi?

Załóżmy, że mam macierz X, która jest n przez p, tj. Ma n obserwacji, z każdą obserwacją w przestrzeni p-wymiarowej.

Jak znaleźć wariancję tych n obserwacji?

W przypadku, gdy p = 1, muszę po prostu użyć formuły regularnej wariancji. Co z przypadkami, w których p> 1.

variance

— statnub
źródło

$p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V. za r (X) = mi [(X - mi X) {(X - mi X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V. za r (X_{1}) & \dots & do o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ do o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V. za r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

Oznacza to, że wariancja losowego wektora jest definiowana jako macierz, która przechowuje wszystkie wariancje na głównej przekątnej i kowariancje między różnymi składnikami w innych elementach. Próbka macierzy kowariancji zostałaby następnie obliczona przez podłączenie analogów próbki dla zmiennych populacji: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{ja = 1}^{n} {(X_{ja 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2)} & \dots & \sum_{ja = 1}^{n} (X_{ja 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{ja p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{ja = 1}^{n} (X_{ja p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{ja 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{ja = 1}^{n} {(X_{ja p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2)} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ gdzie oznacza obserwację dla funkcji a średnia próbka

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ th funkcja. Podsumowując, wariancja wektora losowego jest definiowana jako macierz zawierająca poszczególne wariancje i kowariancje. Wystarczy zatem obliczyć wariancje i kowariancje próbki dla wszystkich składników wektora indywidualnie.

— Philipp Burckhardt
źródło