Jeśli mecz tenisa byłby pojedynczym dużym setem, ile gier dałoby taką samą dokładność?

Tenis ma osobny trzypoziomowy system punktacji i zastanawiam się, czy ma to jakąkolwiek statystyczną korzyść z punktu widzenia meczu jako eksperymentu mającego na celu ustalenie lepszego gracza.

Dla tych, którzy nie są zaznajomieni, w normalnych zasadach gra jest wygrywana od pierwszych do 4 punktów, o ile masz 2-punktową przewagę (tzn. Jeśli wygrywasz 4-2, ale 4-3 potrzebujesz 1 dodatkowego punktu i zachowaj (dopóki jeden gracz nie przejdzie o 2).

Zestaw jest wtedy zbiorem gier, a zestaw wygrywa od pierwszego do 6, ponownie wygrywając o 2, z tym wyjątkiem, że zamiast kontynuowania rozgrywana jest specjalna gra rozstrzygająca (z wyjątkiem końcowego zestawu Wimbledon itp.) ..)

Mecz wygrywa od pierwszego do 2 lub 3 setów, w zależności od konkurencji.

Teraz tenis jest również dziwny, ponieważ gry są niesprawiedliwe. W danym momencie serwer ma ogromną przewagę, dlatego każda gra, którą serwer naprzemiennie.

W grze rozstrzygającej remis serw zmienia się po każdym punkcie i jest to pierwszy do 7 punktów, znowu z 2 punktową przewagą.

Załóżmy, że gracz A ma prawdopodobieństwo wygranej punkt na ich służyć od $p_s$ i przy odbiorze $p_r$ .

Pytanie brzmi: załóżmy, że my

A) właśnie grałem w tenisa jako wielki mecz „najlepszych z N gier”, ile gier dałoby taką samą dokładność jak normalny najlepszy z 5 setów tenisa

B) po prostu grałem w tenisa jako mecz rozstrzygający, ile punktów dałoby taką samą dokładność jak normalny najlepszy z 5 setów tenisa?

Oczywiście te odpowiedzi będą zależeć od i samymi organizacjami wartości, więc to też być dobrze wiedzieć $p_s$ $p_r$

C) Jaka jest oczekiwana liczba gier i punktów rozegranych w normalnym tenisie, przy założeniu stałej , $p_s$ $p_r$

Definiowanie „dokładności”

Jeśli założymy, że umiejętności obu graczy pozostają niezmienne, to jeśli graliby przez nieskończony czas, to jeden lub drugi gracz wygrałby prawie na pewno, niezależnie od formatu gry. Ten gracz jest „poprawnym” zwycięzcą. Jestem prawie pewien, że właściwym zwycięzcą jest gracz, dla którego . $p_r+p_s > 1$

Lepszym formatem gry jest taki, który częściej wytwarza poprawnego zwycięzcę dla tej samej liczby rozegranych punktów lub odwrotnie - poprawnego zwycięzcę z jednakowym prawdopodobieństwem w kilku rozegranych punktach.

probability inference games

— Corone
źródło

Tylko 5. set nie ma remisu w Wimbledon, Australian Open i French Open. Pierwsze 4 sety rozgrywane są za pomocą remisów.

— mpiktas

Co dokładnie rozumiesz przez „dokładność”? Czy masz na myśli coś takiego: „jak często wygrywa lepszy gracz?” W każdym razie potrzebujesz czterech parametrów, a nie dwóch; trzeba

dla każdego gracza, chociaż

i vice versa. Jeśli jakiś gracz klubowy gra zawodnikiem światowej klasy, być może

. Myślę, że najłatwiejszym sposobem, aby to ustalić, jest metoda wymagająca dużego nakładu pracy komputera. Można to wyliczyć analitycznie, ale obliczenia staną się intensywne.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Przywróć Monikę

Myślałem, że można pominąć związek między

a umiejętnościami gracza, ponieważ chcemy tylko porównania metod pomiaru. Tj. Dla każdego dopasowania, jeśli

to gracz 1 powinien wygrać (tzn. Ich średnia zdolność do zdobywania punktów przekracza 50%). Lepszy turniej osiąga to częściej.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

Przez „taką samą dokładnością” masz na myśli, że całkowite prawdopodobieństwo wygranej danego gracza jest taka sama w każdym formacie (na stałe

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

Jeśli grasz w gry do punktów, w których musisz wygrać o , możesz założyć, że gracze rozegrają 6 punktów. Jeśli żaden gracz nie wygra o , wynik jest remisowany , a następnie grasz parami punktów, aż jeden gracz wygra oba. Oznacza to, że szansa na wygranie gry do punktów, gdy szansa na wygranie każdego punktu wynosi , wynosi $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$

W grze męskiej najwyższego poziomu może wynosić około dla serwera. (Byłoby gdyby mężczyźni nie odpoczęli przy drugim serwowaniu.) Według tej formuły szansa na utrzymanie wynosi około . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Załóżmy, że grasz remis do punktów. Możesz założyć, że punkty są rozgrywane parami, w których każdy gracz obsługuje jedną z każdej pary. Kto służy pierwszy, nie ma znaczenia. Możesz założyć, że gracze rozegrają punktów. Jeśli są remisowane w tym momencie, grają parą, dopóki jeden gracz nie wygra obu par, co oznacza, że warunkowa szansa na wygraną to . Jeśli obliczę poprawnie, szansa na wygranie remisu wynosi $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$ punkty to

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

Jeśli szansa na wygraną w rozstrzygnięciu wynosi około . $p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

Następnie rozważ zestaw. Nie ma znaczenia, kto będzie serwował jako pierwszy, co jest wygodne, ponieważ w przeciwnym razie musielibyśmy rozważyć wygranie seta, mając za sobą serw, a następnie wygranie seta bez zachowania serwowania. Aby wygrać zestaw do gier, możesz sobie wyobrazić, że najpierw rozegranych zostanie gier. Jeśli wynik jest remisowy zagraj jeszcze w gry. Jeśli to nie determinuje zwycięzcy, zagraj w remis, lub w piątym secie po prostu powtórz grając w pary gier. Niech będzie prawdopodobieństwem trzymania serw i niech $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ prawdopodobieństwo złamania serwowania przeciwnika, które można obliczyć powyżej na podstawie prawdopodobieństwa wygrania meczu. Szansę wygrać zestaw bez Tiebreak podąża tą samą podstawową formułę jako szansę wygrać tie-breaker, oprócz tego, że gramy do gier zamiast do punktów, a my zastąpić przez i o . $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

Warunkowa szansa na wygraną piątego seta (seta bez remisu) przy i wynosi . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

Szansa na wygranie seta z rozstrzygającym remisiem przy i wynosi . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

Szansa na wygranie meczu z setami bez rozstrzygnięcia w piątym secie, przy i wynosi . $5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

Tak więc, dla tych wskaźników wygranych, ile gier musiałoby być w jednym zestawie, aby miał taką samą moc dyskryminującą? Przy , wygrywasz zestaw do gier ze zwykłym tie- , i wygrywasz zestaw do gier z tie- możliwym czasu. Bez rozstrzygnięcia szansa na wygraną w normalnym meczu to sety o długości i . Jeśli po prostu zagrasz w jednego dużego tie-breakera, szansa na wygranie tie-breakera o długości wynosi $p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ i o długości wynosi . $114$ $56.29\%$

Sugeruje to, że zagranie jednego olbrzymiego zestawu nie jest bardziej wydajne niż najlepszy z 5 meczów, ale zagranie jednego olbrzymiego tie-breaka byłoby bardziej wydajne, przynajmniej dla ściśle dopasowanych zawodników, którzy mają przewagę.

Oto fragment mojej kolumny GammonVillage z marca 2013 r. „Gra, set i mecz”. Rozważyłem rzut monetą ze stałą przewagą ( ) i zapytałem, czy bardziej efektywnie jest rozegrać jeden duży mecz lub serię krótszych meczów: $51\%$

... Jeśli najlepszy z trzech jest mniej wydajny niż pojedynczy długi mecz, możemy oczekiwać, że najlepszy z pięciu będzie gorszy. najlepszy z pięciu meczów punktowych z prawdopodobieństwem , bardzo blisko szansy na wygraną w pojedynczym meczu do . Średnia liczba meczów w pięciu przypadkach wynosi , więc średnia liczba gier wynosi . Oczywiście jest to więcej niż maksymalna możliwa liczba gier w meczu do , a średnia to . Wygląda na to, że dłuższa seria meczów jest jeszcze mniej wydajna. $13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

Co powiesz na kolejny poziom, najlepszy z trzech serii najlepszych z trzech meczów do ? Ponieważ każda seria byłaby jak mecz z , ta seria serii byłaby jak najlepszy z trzech meczów do , tylko mniej wydajna, a jedno długie dopasowanie byłoby lepsze. Tak więc jeden długi mecz byłby bardziej wydajny niż seria serii. $13$ $29$ $29$

Co sprawia, że seria meczów jest mniej wydajna niż jedna długa? Rozważ je jako testy statystyczne do zbierania dowodów, aby zdecydować, który gracz jest silniejszy. W najlepszym z trzech meczów możesz przegrać serię z wynikiem . Oznacza to, że wygrałbyś gier do przeciwnika , ale Twój przeciwnik wygrałby serię. Jeśli rzucisz monetą i zdobędziesz głów i $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ ogony, masz dowody, że głowy są bardziej prawdopodobne niż ogony, nie że ogony są bardziej prawdopodobne niż głowy. Tak więc najlepsze z trzech dopasowań jest nieefektywne, ponieważ marnuje informacje. Seria meczów wymaga średnio więcej danych, ponieważ czasami zapewnia zwycięstwo graczowi, który wygrał mniej gier.

— Douglas Zare
źródło

Absolutnie niewiarygodne! Czy istnieje odznaka dla największej jak dotąd ekspresji lateksowej? Nie rozumiem jednak wniosku - na pewno 25 gier to mniej niż zwykle się gra? Jeśli dojdzie do piątego seta, grasz w co najmniej 30 gier, a nawet wygrana 6: 4 6: 4 6: 4 to 30 gier?

— Corone

Zestaw

gier oznacza, że możesz wygrać wynikiem

czyli

gier.

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

— Douglas Zare

Ach tak, przepraszam, ma sens. Świetna odpowiedź.

— Corone

Na-ah, który dba o długi

L A T E X

$\LaTeX$

W tym artykule przeanalizowano niektóre elementy rozstrzygające i czy preferują silniejsze serwery: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare