Intuicyjne wyjaśnienie okresowości w łańcuchach Markowa

Czy ktoś może mi wyjaśnić intuicyjnie, jaka jest częstotliwość łańcucha Markowa?

Jest on zdefiniowany w następujący sposób:

Dla wszystkich stanów $i$ w $S$

$d_i$ = gcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Dziękuję za Twój wysiłek!

Po pierwsze, twoja definicja nie jest całkowicie poprawna. Oto poprawna definicja z wikipedii, zgodnie z sugestią Cyana.

Okresowość (źródło: wikipedia )

Stan i ma okres k, jeśli jakikolwiek powrót do stanu i musi nastąpić w wielokrotności k kroków czasowych. Formalnie okres stanu określa się jako

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(gdzie „gcd” jest największym wspólnym dzielnikiem). Należy zauważyć, że chociaż stan ma okres k, osiągnięcie stanu w krokach może nie być możliwe. Załóżmy na przykład, że można powrócić do stanu w przedziałach czasowych {6, 8, 10, 12, ...}; k byłoby 2, mimo że 2 nie pojawia się na tej liście.

Jeśli k = 1, wówczas mówi się, że stan jest nieokresowy: powrót do stanu i może wystąpić w nieregularnych momentach. Innymi słowy, stan i jest nieokresowy, jeśli istnieje n takie, że dla wszystkich n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

W przeciwnym razie (k> 1), stan jest określany jako okresowy z okresem k. Łańcuch Markowa jest nieokresowy, jeśli każdy stan jest nieokresowy.

Moje wyjaśnienie

Termin okresowość opisuje, czy coś (zdarzenie lub tutaj: wizyta określonego stanu) dzieje się w regularnych odstępach czasu. Tutaj czas mierzony jest liczbą odwiedzonych stanów.

Pierwszy przykład:

Teraz wyobraź sobie, że zegar reprezentuje łańcuch markowa i co godzinę zaznacza stan, więc mamy 12 stanów. Każdy stan jest odwiedzany przez wskazówkę godzinową co 12 godzin (stanów) z prawdopodobieństwem = 1, więc największy wspólny dzielnik to również 12.

Tak więc każdy (godzinny) stan jest okresowy z okresem 12.

Drugi przykład:

Wyobrazić wykres opisujący kolejność rzutów monet, począwszy od stanu i stan H e d s i t i L y reprezentującą wynik ostatniego monetą.$start$$heads$$tails$

Prawdopodobieństwo przejścia wynosi 0,5 dla każdej pary stanów (i, j), z wyjątkiem -> s t a r t i t a i l s -> s t a r t, gdzie wynosi 0.$heads$$start$$tails$$start$

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd