Czy stopnie swobody testu Welcha są zawsze niższe niż współczynnik DF testu grupowego?

Prowadzę kurs z podstaw statystyki i przeprowadzamy test t dla dwóch niezależnych próbek o nierównych wariancjach (test Welcha). W przykładach, które widziałem, skorygowane stopnie swobody zastosowane w teście Welcha są zawsze mniejsze lub równe . $n_1+n_2-2$

Czy tak jest zawsze? Czy test Welcha zawsze zmniejsza (lub pozostawia niezmieniony) stopnie swobody połączonego testu t (równe wariancje)?

I na ten sam temat, jeśli odchylenia standardowe próbki są równe, czy DF testu Welcha zmniejszają się do ? Spojrzałem na formułę, ale algebra się popsuła.$n_1+n_2-2$

Tak.

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Oto „oficjalne” odniesienia (zauważ, że powyższe dostosowanie - takie, które jest zwykle używane - pochodzi z drugiego dokumentu):

• Welch, BL (1938). „Znaczenie różnicy między dwoma średnimi, gdy różnice w populacji są nierówne”. Biometrika, 29, 3/4 , ss. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). „Przybliżony rozkład oszacowań składników wariancji”. Biometrics Bulletin, 2, 6 , s. 110–114 .
• Welch, BL (1947). „Uogólnienie problemu„ studenta ”, gdy w grę wchodzi kilka różnych wariantów populacji”. Biometrika, 34, 1/2 , s. 28–35 .

(Googling może przynieść nieużywane wersje tych.)