Jak znaleźć rozkład krańcowy ze wspólnego rozkładu z zależnością wielu zmiennych?

Jeden z problemów w moim podręczniku jest następujący. Dwuwymiarowy stochastyczny wektor ciągły ma następującą funkcję gęstości:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Pokaż, że funkcje gęstości brzeżnej $f_X$ i $f_Y$ to:

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Rozumiem, w jaki sposób obliczana jest funkcja gęstości , całkując od do względem . Jestem jednak całkowicie stracił na , gdzie jest pochodzące z? Jeśli zintegruję od do w odniesieniu do , otrzymam tylko $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ , i dlatego mieści się w zakresie? $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Naszkicowałem obsługę , wszystkich wartości, w których są koloru niebieskiego: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Wsparcie dla $ X, Y $

— soren.qvist
źródło

Może ci pomóc narysować obraz wsparcia

(który jest zbiorem

dla którego

). To powinno natychmiast odpowiedzieć na niektóre twoje pytania.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— Whuber

@ whuber Okay, więc wyobraziłem sobie wsparcie i myślę, że rozumiem, dlaczego to 0 <y <1, to dlatego, że x jest zdefiniowane tylko w 0 <x <1, a ponieważ 0 <y <x naturalnie mamy wtedy, że y jest tylko zdefiniowane od 0 do 1, prawda? Ale nadal nie rozumiem części (1-y ^ 2).

— soren.qvist

Wskazówka: Gęstość krańcowa

jest całką z

która dla stałej wartości

, jest niezerowa tylko dla tych

spełniających

. To znaczy,

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

istąd pochodzi część

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

Dzięki za podpowiedź Dilip, obawiam się jednak, że nie rozumiem tego w pełni. „.. dla stałej wartości

, jest niezerowe tylko dla

spełniających

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$ .” Masz na myśli niebieski obszar na mapie?

— soren.qvist

@ soren.qvist Tak. Mam na myśli niebieski obszar na mapie.

jest integralną (obszar pod krzywą) w zależności od

, który ma wartość

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

, jeżeli

wynosi

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

(niebieski powierzchni)

w inny sposób. Powtórz dla innychstałychwartości

zauważ, że za każdym razem wartość liczbowa

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ okazuje się być taką samą liczbą, jak uzyskana przez „podłączenie” wybranej wartości

do wyrażenia

y

$y$

jak podano w arkuszu odpowiedzi. Potem pojawia się „Hej, mam wrażenie, że widzę wzór!” moment i zdasz sobie sprawę, że

równa się pokazanej całce.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

Jak słusznie wskazałeś w swoim pytaniu, oblicza się, całkując gęstość połączenia, w odniesieniu do X. Kluczową częścią tutaj jest określenie obszaru, na którym całkujesz. Pokazałeś już wyraźnie graficznie obsługę funkcji rozkładu połączeń . Teraz możesz zauważyć, że zakres w zacienionym obszarze wynosi od $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ do $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
źródło