Znajdowanie rozkładu statystyki

Studiowanie do testu. Nie mogłem odpowiedzieć na to.

Niech będzie iid zmiennych losowych. Definiować$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

i ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Jaka jest dystrybucja , ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Jak uzyskać wyobrażenie o najlepszej metodzie, którą należy zastosować, rozpoczynając taki problem?

To jest trik.

Warunkowo na mamy, że jest równe Wynika to z faktu, że dla ustalonego jest to prosta liniowa transformacja dwóch niezależnych zmiennych i . Skąd ma rozkład normalny. Średnia warunkowa jest postrzegana jako 0, a wariancja warunkowa wynosi (przy założeniach niezależności) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Ponieważ rozkład warunkowy nie zależy od , dochodzimy do wniosku, że jest to również jego rozkład krańcowy, to znaczy$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Reszta wynika ze standardowych wyników średnich i reszt dla niezależnych normalnych zmiennych losowych. Twierdzenie Basu nie jest potrzebne do niczego.