Przedział ufności dla próbkowania Bernoulliego

Mam losową próbkę losowych zmiennych Bernoulliego , gdzie oznaczają iidrv, a , a jest nieznanym parametrem. $X_1 ... X_N$ $X_i$ $P(X_i = 1) = p$ $p$

Oczywiście, można znaleźć oszacowanie : . $p$ $\hat{p}:=(X_1+\dots+X_N)/N$

Moje pytanie brzmi: jak mogę zbudować przedział ufności dla ? $p$

confidence-interval binomial bernoulli-distribution

— ameba mówi Przywróć Monikę
źródło

Wikipedia zawiera szczegółowe informacje na temat obliczania przedziałów ufności dla próbkowania bernoulli .

Odpowiedzi:

Jeżeli wartość , nie jest w pobliżu albo , a wielkość próbki jest wystarczająco duże (tzn , a , przedział ufności może być określona za pomocą normalnego rozkładu przedział ufności skonstruowany w ten sposób: $\hat{p}$ $1$ $0$ $n$ $n\hat{p}>5$ $n(1-\hat{p})>5$

$\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$ $\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Jeśli i , przedział ufności wynosi około $\hat{p} = 0$ $n>30$ $95\%$ (Javanovic i Levy, 1997); Przeciwieństwo jest dla. Odnośnik omawia także użyciei(później w celu włączenia wcześniejszych informacji). $[0,\frac{3}{n}]$ $\hat{p}=1$ $n+1$ $n+b$
$n$ $\hat{p}$

R zapewnia funkcje binconf {Hmisc}i binom.confint {binom}które mogą być używane w następujący sposób:

set.seed(0)
p <- runif(1,0,1)
X <- sample(c(0,1), size = 100, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
library(Hmisc)
binconf(sum(X), length(X), alpha = 0.05, method = 'all')
library(binom)
binom.confint(sum(X), length(X), conf.level = 0.95, method = 'all')

Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). „Przybliżona wartość jest lepsza niż„ dokładna ”przy szacowaniu przedziałów proporcji dwumianowych”. The American Statistician 52: 119–126.

Jovanovic, BD i PS Levy, 1997. Spojrzenie na zasadę trzech. The American Statistician Vol. 51, nr 2, s. 137-139

Ross, TD (2003). „Dokładne przedziały ufności dla proporcji dwumianowej i estymacji Poissona”. Computers in Biology and Medicine 33: 509–531.

— David LeBauer
źródło

(+1) Ładna odpowiedź. Myślę, że stanie się to punktem odniesienia dla podobnych pytań w przyszłości. Jednak zamieszczanie postów jest niezwykłe; w rzeczywistości uważam, że jest to niezadowolone, ponieważ psuje wiele aspektów systemu sprzężenia zwrotnego / odnośników / wątków / komentarzy. Proszę rozważyć usunięcie jednej z kopii i zastąpienie jej linkiem w komentarzu.

— whuber

@ whuber dzięki za opinie. Usunąłem drugą kopię.

— David LeBauer,

W pierwszym wzorze czym są Z1 i alfa?

— Cirdec

z_{1 - α / 2}

$z_{1-\alpha/2}$

1 - α / 2

${1-\alpha/2}$

α

$\alpha$

3 / n

$3/n$

Maksymalne przedziały ufności prawdopodobieństwa

$p$

$\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

$\alpha$ $\beta_0$

CI (β_{0})_{α} = {\hat{β}}_{0} \pm Z_{α / 2} \sqrt{1 / (n \hat{p} (1 - \hat{p})}

$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$

$p$

CI (p)_{α} = 1 / (1 + \exp (- CI (β_{0})_{α})

$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$

Ten CI ma tę dodatkową zaletę, że proporcje leżą w przedziale między 0 lub 1, a CI jest zawsze węższy niż normalny przedział, będąc na właściwym poziomie. Możesz to bardzo łatwo uzyskać w R, określając:

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 % 
0.2795322 0.4670450

Dokładne dwumianowe przedziały ufności

$Y = n\hat{p}$ $(n,p)$ $\hat{p}$

{CI}_{α} = (F_{\hat{p}}^{- 1} (0.025), F_{\hat{p}}^{- 1} (0.975))

$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$

$p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

Mediana obiektywnych przedziałów ufności

$p$ $p_{1-\alpha/2}$

p_{1 - α / 2} : P (Y = 0) / 2 + P (Y > y) > 0.975

$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$

Jest to również procedura obliczeniowa.

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) + 
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) - 
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

Dwie ostatnie metody są zaimplementowane w epitoolspakiecie w języku R.

— AdamO
źródło