„Szczytowość” wypaczonej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

11

Chciałbym opisać „szczytowość” i „ciężar” ogona kilku wypaczonych funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Czy chciałbym opisać cechy, które nazywają „kurtozą”? Czy widziałem tylko słowo „kurtoza” używane w symetrycznych rozkładach?

— użytkownik1375871
źródło

15

Rzeczywiście miary kurtozy są zwykle stosowane do rozkładów symetrycznych. Można go również obliczyć dla przekrzywionych, ale interpretacja zmienia się, ponieważ ta wartość zmienia się po wprowadzeniu asymetrii. W rzeczywistości te dwie koncepcje są trudne do rozdzielenia. Niedawno w tym artykule zaproponowano niezmienną miarę skurczu kurtozy .

Wysoka kurtoza wiąże się ze szczytem i ciężkim ogonem (charakteryzuje się również „brakiem ramion”). Jeden z tomów Kendalla i Stuarta omawia te kwestie w dłuższej perspektywie. Ale, jak zauważacie, takie interpretacje są generalnie podawane w sytuacji bliskiej symetrii. W przypadkach niesymetrycznych znormalizowany czwarty moment jest zwykle silnie skorelowany z kwadratem znormalizowanego trzeciego momentu, więc w większości mierzą one bardzo podobne rzeczy.

— Glen_b

Rzeczywiście, biorąc pod uwagę szczególny sposób sformułowania tego w moim wcześniejszym komentarzu, jest to prawdą nawet w przypadku rozkładów symetrycznych - kwadrat próbki znormalizowany moment trzeci (skośność momentu kwadratowego) jest silnie skorelowany z próbą znormalizowaną czwarty moment („kurtoza”), nawet w normalnej sytuacji.

— Glen_b

3

Ponieważ wariancja jest zdefiniowana jako drugi moment , skośność jest zdefiniowana jako trzeci moment a kurtoza jest zdefiniowana jako czwarty moment , możliwe jest opisanie właściwości szeroki zakres symetrycznych i niesymetrycznych rozkładów z danych. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Technikę tę pierwotnie opisał Karl Pearson w 1895 r. Dla tak zwanych Dystrybucji Pearsona od I do VII. Zostało to rozszerzone przez Egona S. Pearsona (data niepewna), opublikowanego w Hahnie i Shapiro w 1966 r., Do szerokiej gamy rozkładów symetrycznych, asymetrycznych i gruboogoniastych, które obejmują jednolity, normalny, studenci-t, lognormalny, wykładniczy, gamma, beta Beta J i Beta U. Z tabeli p. 197 Hahna i Shapiro, i można wykorzystać do ustalenia deskryptorów skośności i kurtozy jako: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Jeśli chcesz tylko prostych deskryptorów względnych, stosując stałą skośność wynosi a kurtoza to . $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Próbowaliśmy tutaj streścić tę tabelę , aby można ją było zaprogramować, ale lepiej przejrzeć ją w Hahnie i Shapiro (str. 42–49,122–132,197). W pewnym sensie sugerujemy odrobinę odwrotnej inżynierii wykresu Pearsona, ale może to być sposób na oszacowanie tego, czego szukasz.

— AsymLabs
źródło

3

Głównym problemem jest to, czym jest „szczytowość”? Czy to jest krzywizna na szczycie (2. pochodna?) Czy najpierw wymaga standaryzacji? (Można by tak sądzić, ale istnieje strumień literatury zaczynający się od Proschan, Ann. Math. Statist. Tom 36, Number 6 (1965), 1703-1706, który określa szczytowość w taki sposób, że normalne przy mniejszej wariancji są bardziej „ spiczasty"). A może jest to koncentracja prawdopodobieństwa w ramach standardowego odchylenia średniej, jak domniemane w Balandzie i Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol 42, 111-119)? Po ustaleniu definicji zastosowanie jej powinno być trywialne. Ale zapytałbym: „dlaczego cię to obchodzi?” Jakie znaczenie ma „szczytowość”, jakkolwiek zdefiniowana?

BTW, kurtoza Pearsona mierzy tylko ogony i nie mierzy żadnej z wyżej wymienionych definicji „szczytowości”. Możesz zmienić dane lub rozkład w ramach standardowego odchylenia średniej tak bardzo, jak chcesz (zachowując ograniczenie = 0 i wariancja = 1), ale kurtoza może zmieniać się tylko w maksymalnym zakresie 0,25 (zwykle znacznie mniejszym). Możesz więc wykluczyć użycie kurtozy do pomiaru szczytowości dla dowolnego rozkładu, nawet jeśli kurtoza jest rzeczywiście miarą ogonów dla dowolnego rozkładu, bez względu na to, czy rozkład jest symetryczny, asymetryczny, dyskretny, ciągły, dyskretny / ciągły, czy empiryczny. Kurtosis mierzy ogony dla wszystkich dystrybucji i praktycznie nie ma nic o piku (jakkolwiek zdefiniowanym).

— Peter Westfall
źródło

1

Możliwym bardzo praktycznym podejściem może być obliczenie stosunku funkcji przeżycia rozkładu do normalnego, pokazując, że jest on znacznie większy. Innym podejściem może być obliczanie proporcji percentyli rozkładu będącego przedmiotem zainteresowania i dzieląc go względem normalnych wartości jednego kwantyla, , . $\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
źródło

0

Nie jestem pewien, czy rozumiem szczyt i ciężar. Kurtosis oznacza po niemiecku „nadmiar”, więc opisuje „głowę” lub „szczyt” rozkładu, opisując, czy jest on bardzo szeroki czy bardzo wąski. Wikipedia stwierdza, że „szczytowość” jest faktycznie opisana przez „kurtoza”, podczas gdy szczytowość nie wydaje się być prawdziwym słowem i należy użyć terminu „kurtoza”.

Więc myślę, że wszystko dobrze zrozumiałeś, głową jest Kurtosis, „ciężarem” ogona może być Skośność ”:

Oto jak to znaleźć:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

ze s jako odchylenie standardowe dla x.

Wartości wskazują:

ujemne:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Pozytywne :

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Brak

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Wartość kurtozy można uzyskać za pomocą:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Wartości wskazują:

Platycurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Normalny:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Czy to pomogło?

— Johannes Hofmeister
źródło

3

Obawiam się, że ta odpowiedź w obecnej formie może być mniej niż pomocna z powodu błędów. Skośność jest standardową miarą asymetrii . Nie jest to ściśle związane z ciężkością ogonów: ogony mogą być bardzo ciężkie, a skośność zerowa (na przykład w przypadku dowolnego rozkładu symetrycznego). Pamiętaj też, że nie jest możliwe, aby było negatywne, więc druga połowa tej odpowiedzi nie ma sensu. (Być może

a_{4}

$a_4$

— myliłeś kurtozę

1

Dziękuję za wyjaśnienie. Formuły mogą rzeczywiście zawierać błędy, właśnie skopiowałem je ze skryptów, które udostępniają na uni. Nadzorowałem fakt, że a4 nie może być ujemne.

— Johannes Hofmeister

1

Spojrzałem, dlaczego moja odpowiedź jest zła - to błąd w tłumaczeniu, przepraszam za to. Wszystkie moje slajdy są w języku niemieckim, mieszając Kurtosis i Excess .

— Johannes Hofmeister

@ Peter Jak Peter Westfall ciągle wskazuje, twój komentarz jest niepoprawny: „szczytowość” (dowolnego trybu), uważana za niejasną jako punktowość lub wysokość, nie ma absolutnie nic wspólnego z ogonami jakiegokolwiek rozkładu, ani nie jest mierzona żadnym skończonym połączenie momentów (takie jak kurtoza). Może się to wiązać z ciężkością ogonów dla rodziny dystrybucji, ale to zupełnie inna sprawa.

— whuber

-1

Kurtoza jest zdecydowanie związana z szczytowością krzywej. Odtąd uważam, że naprawdę szukasz kurtozy, która istnieje, niezależnie od tego, czy rozkład jest symetryczny, czy nie. (user10525) zdecydowanie powiedział to dobrze! Mam nadzieję, że Twój problem został już rozwiązany. Podziel się swoim wynikiem, wszystkie opinie są mile widziane.

— Vani
źródło

1

Nie jestem pewien, jak stanowi to pomocną odpowiedź poza tym, co już tutaj napisano. Co powiesz na więcej na temat kurtozy i szczytowości krzywej?

— Momo

Chciał podać jasne wyjaśnienie zapytania. Dyskusja wydawała się myląca @Momo

— Vani