Dlaczego transformacja pierwiastka kwadratowego jest zalecana dla danych zliczania?

Często zaleca się, aby wziąć pierwiastek kwadratowy, gdy zliczasz dane. (Aby zapoznać się z niektórymi przykładami CV, patrz odpowiedź @ Harveya Motulsky'ego tutaj lub odpowiedź @ whubera tutaj .) Z drugiej strony, podczas dopasowywania uogólnionego modelu liniowego ze zmienną odpowiedzi rozmieszczoną jako Poisson, log jest łącznikiem kanonicznym . Jest to coś w rodzaju transformacji logu danych odpowiedzi (chociaż dokładniej transformacja logu , parametru rządzącego rozkładem odpowiedzi). Tak więc istnieje między nimi napięcie. $\lambda$

Jak pogodzić tę (pozorną) rozbieżność?
Dlaczego pierwiastek kwadratowy byłby lepszy od logarytmu?

— gung - Przywróć Monikę
źródło

Pierwiastek kwadratowy w przybliżeniu stabilizuje wariancję dla Poissona . Istnieje wiele odmian pierwiastka kwadratowego, które poprawiają właściwości, na przykład dodanie $\frac{3}{8}$ przed obliczeniem pierwiastka kwadratowego lubFreeman-Tukey( $\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$ - choć często jest również dostosowywany do średniej).

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Transformacja pierwiastka kwadratowego nieco poprawia symetrię - choć nie tak dobrze jak $\frac{2}{3}$ moc ma [1]:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Jeśli szczególnie zależy ci na prawie normalności (o ile parametr Poissona nie jest naprawdę mały) i nie przejmujesz się / nie możesz dostosować się do heteroscedastyczności, spróbuj $\frac{2}{3}$

$y^*=\log(y+c)$ $0$ $c$ $0.4$ $0.5$ $\mu$ $\frac12$ $0.43$

Co do tego, dlaczego ludzie wybierają jedną transformację nad drugą (lub żadną) - tak naprawdę jest to kwestia tego, co robią, aby to osiągnąć.

[1]: Wykresy wzorowane na wykresach Henrika Bengtssona w jego ulotce „Uogólnione modele liniowe i transformowane reszty” patrz tutaj (patrz pierwszy slajd na p4). Dodałem trochę jittera i pominąłem wiersze.

— Glen_b
źródło

(0, + \infty)

$(0, +\infty)$

(- \infty, + \infty)

$(-\infty, +\infty)$

λ

$\lambda$

X^{'} y

$X'y$

+1 Pierwiastek kwadratowy jest zaledwie punktem wyjścia do radzenia sobie z danymi zliczania. Logarytm jest również dobrym wyborem. Dane często mówią, który z nich jest bardziej skuteczny w uzyskiwaniu użytecznego i zwięzłego opisu. Gung, w odpowiedzi, na którą powołujesz się , wykazanie, że pierwiastek kwadratowy był dobrym wyborem, polega na symetrycznym rozkładzie niepozostających resztek widocznych na rysunku po prawej stronie. Po zmianie parametrów symulacji okaże się, że zachowana jest symetria.

— whuber

@Glen Nie powiedziałem, że logi są zawsze dobrym wyborem. Ale czasami są lepsze od korzeni. Kiedy pojawi się zero, wtedy tak, potrzebujesz logarytmu „uruchomionego” . W innych wątkach omówiono sposoby uzyskania wartości początkowej . Gdy w danych nie ma zerowych zliczeń, nie będzie żadnych problemów z logami.

— whuber

\sqrt{x + 3 / 8}

$\sqrt{x+3/8}$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

\sqrt{x + c}

$\sqrt{x+c}$

c

$c$

\sqrt{x + 3 / 8}

$\sqrt{x+3/8}$